Problem P. 5329. (May 2021)

P. 5329. There is a piece of chalk at rest on a horizontal blackboard. The blackboard is suddenly pushed such that it gains a horizontal velocity of \(\displaystyle v_0\), then it collides with a wall after a time of \(\displaystyle T\) and it suddenly stops. How long is the track of the chalk on the board if the coefficient of friction between the chalk and the board is \(\displaystyle \mu\)?

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A tábla hirtelen megindításakor a kréta sebessége még nulla, a tábláé \(\displaystyle v_0\). Ezután a kréta sebessége a \(\displaystyle \mu m g\) súrlódási erő miatt \(\displaystyle a=\mu g\) gyorsulásnak megfelelő ütemben növekszik mindaddig, amíg a relatív sebességük nullára nem csökken, vagy a relatív sebesség előjele meg nem változik.

A továbbiakban két esetet kell megkülönböztetnünk:

\(\displaystyle a)\) Ha \(\displaystyle v_0/(\mu g)\le T\), akkor a kréta \(\displaystyle t_1= v_0/(\mu g)\) idő múlva (a táblához képest) megáll, miközben az elmozdulása a táblán (vagyis a krétanyom ,,előjeles hossza'')

\(\displaystyle s_1=-\frac{1}{2}v_0 t_1= -\frac{v_0^2}{2\mu g}.\)

(A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a kréta lemarad a táblától.) A tábla későbbi – ugyancsak hirtelen – megállításakor a kréta sebessége \(\displaystyle +v_0\), további mozgását pedig \(\displaystyle a=-\mu g\) lassulás jellemzi. A kréta sebessége

\(\displaystyle v(t)=v_0-\mu g t\)

módon változik, és a megállásig

\(\displaystyle s_2=+\frac{v_0^2}{2\mu g}\)

utat tesz meg. A krétanyom látható hossza

\(\displaystyle s=s_1=\frac{v_0^2}{2\mu g},\)

hiszen a táblához képest előrefelé mozgó kréta csak vastagítja a már meglévő nyomot, de annak hosszát nem növeli (1. ábra).

1. ábra

\(\displaystyle b)\) Amennyiben \(\displaystyle v_0/(\mu g)> T\), a kréta sebessége a tábla megindulása után \(\displaystyle T\) idő elteltével \(\displaystyle v_1=\mu g T<v_0.\) Ezalatt a kréta

\(\displaystyle s_1= \frac{v_0+\left(v_0-v_1\right)}{2}T=v_0T-\frac{\mu g}{2}T^2\)

hosszú nyomot hagy a táblán. A tábla hirtelen megállítása után a kréta sebessége a \(\displaystyle v_1\) kezdeti értékről \(\displaystyle T\) idő alatt nullára csökken, vagyis

\(\displaystyle s_2=\frac{v_1}{2}T\)

hosszú nyomot húz a táblán az előző nyommal ellentétes irányban (2. ábra). Mivel \(\displaystyle s_1>s_2,\) a teljes krétanyom hossza

\(\displaystyle s=s_1=v_0T-\frac{\mu g}{2}T^2.\)

2. ábra

Statistics:

17 students sent a solution.
5 points:	Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Köpenczei Csanád, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
4 points:	Bonifert Balázs.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, May 2021