Problem P. 5335. (May 2021)
P. 5335. If a solid ball of diameter of 8 cm was made of pure \(\displaystyle {}^{238}\rm Pu\), what would the temperature of the surface of this ball be when it is placed into a point in space at a temperature of \(\displaystyle -270\) degrees Celsius, far away from everything.
(Such an isotope is used to power ``deep space'' spacecrafts, travelling far from the Sun, in their radioisotope thermoelectric generators.)
(5 pont)
Deadline expired on June 15, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az adatokból kiszámítható, hogy a golyó térfogata \(\displaystyle V=268~\rm cm^3\), tömege \(\displaystyle m=5{,}30~\rm kg\), felszíne \(\displaystyle S=0{,}02~\rm m^2\). Ennyi anyagban
\(\displaystyle n=\frac{5{,}30~\rm kg}{238~\rm g/mol}=22{,}2~{\rm mol},\)
vagyis
\(\displaystyle N_0=n\cdot R_A=22\cdot 6{,}02\cdot10^{23}=1{,}32\cdot10^{25}\)
darab bomlékony atommag található.
Az izotóp felezési idejéből kiszámítható a bomlásállandó és az egész golyó aktivitása:
\(\displaystyle \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=2{,}5\cdot10^{-10}~{\rm s}^{-1},\qquad \text{illetve}\qquad A= N_0\lambda=3{,}3\cdot 10^{15}~{\rm s}^{-1},\)
a leadott hőteljesítmény tehát
\(\displaystyle P=3{,}3\cdot 10^{15}~{\rm s}^{-1}\cdot 5{,}5~{\rm MeV}= \left(3{,}3\cdot 10^{15}\right)\cdot \left(5{,}5\cdot10^6\right)\cdot\left(1{,}6\cdot10^{-19}\right)~\frac{{\rm J}}{\rm s} \approx 2{,}9~{\rm kW}.\)
A golyó egyensúlyi hőmérsékletét \(\displaystyle T_0=3~\rm K\) hőmérsékletű környezetben a felvett és a leadott teljesítmények egyenlősége határozza meg. (A bomlások során keletkező \(\displaystyle \alpha\)-részecskék legnagyobb része még a gömb belsejében elnyelődik, így a mozgásienergiájuknak megfelelő hő fejlődik.) Ha a plútóniumgömböt abszolút fekete testnek tekintjük:
\(\displaystyle P+\sigma A T_0^4=\sigma A T ^4.\)
A hideg környezetben az elnyelt sugárzás teljesítménye elhanyagolhatóan kicsi, így
\(\displaystyle P\approx\sigma S T ^4,\)
vagyis
\(\displaystyle T=\sqrt[4]{\frac{P}{\sigma A}}\approx 1270~{\rm K}\approx 1000\,^\circ\rm C.\)
(Ez a hőmérséklet magasabb, mint a plútónium kb. \(\displaystyle 640\,^\circ\rm C\)-os olvadáspontja, ezért a gömb – a megadott számadatok mellett – megolvad. )
\(\displaystyle ^{238}\rm Pu\) által termelt hő és termoelemek segítségével fejlesztett elektromos áramot használ fel többek között a Curiosity Mars-jármű is.
Statistics:
11 students sent a solution. 5 points: Bonifert Balázs, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony. 4 points: Kozák Gergely, Tóth Ábel, Török 111 László.
Problems in Physics of KöMaL, May 2021