 |
A P. 5357. feladat (2021. november) |
P. 5357. Vízszintes asztallapon fekszik egy homogén tömegeloszlású rúd. Ezt a rudat lassan függőleges helyzetbe hozzuk az egyik végére ható, a rúdra mindenkor merőleges erővel. Legalább mekkora a rúd és az asztallap közötti tapadási súrlódási együttható, ha a rúd nem csúszik meg felállítás közben?
Amerikai feladat nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Jelöljük a rúd súlyát \(\displaystyle G\)-vel, hosszát \(\displaystyle \ell\)-lel, a felső végénél ható erőt \(\displaystyle F\)-fel, az alsó végénél ható nyomóerőt \(\displaystyle N\)-nel, és végül a súrlódási erőt \(\displaystyle S\)-sel (lásd az ábrát).
Amikor a rúd \(\displaystyle \varphi\) szöget zár be a vízszintessel, a következő összefüggések érvényesek:
\(\displaystyle S=F\sin\varphi\qquad \text{(vízszintes erők egyensúlya)},\)
\(\displaystyle N+F\cos\varphi=G\qquad \text{(függőleges erők egyensúlya)},\)
\(\displaystyle F\ell =G\frac{\ell}{2} \cos\varphi\qquad \text{(forgatónyomatékok egyensúlya)}.\)
Innen \(\displaystyle S\) és \(\displaystyle N\) kifejezhető \(\displaystyle G\) segítségével:
\(\displaystyle S=\frac{\sin\varphi\,\cos\varphi}{2}G,\)
\(\displaystyle N=\left(1-\frac{\cos^2\varphi}{2}\right) G.\)
A rúd akkor nem csúszik meg az alsó végpontjánál, ha
\(\displaystyle \mu>\frac{S}{N}=\frac{\sin\varphi\,\cos\varphi}{2-\cos^2\varphi}\equiv f(\varphi).\)
\(\displaystyle f(\varphi)\) arányos a \(\displaystyle 2\sin^2\varphi\) és a \(\displaystyle \cos^2\varphi\) mértani és számtani közepének a hányadosával, tehát akkor maximális, ha e két mennyiség megegyezik:
\(\displaystyle f(\varphi)= \frac{1}{\sqrt{8}}\cdot \frac{\sqrt{2\,\sin^2\varphi}\sqrt{\cos^2\varphi}} {\frac12\left(2\,\sin^2\varphi+\cos^2\varphi\right) }\le \frac{1}{\sqrt{8}}=\mu_\text{krit.}. \)
(Ugyanezt grafikus ábrázolással, vagy felsőbb matematikai módszerekkel is beláthatjuk.)
Ha tehát
\(\displaystyle \mu>\mu_\text{krit.}\approx 0{,}35,\)
akkor a rúd a felállítása során semelyik helyzeténél nem csúszik meg.
Statisztika:
44 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bányai Kristóf, Beke Bálint, Bencz Benedek, Czirók Tamás, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Horváth 221 Zsóka, Kertész Balázs, Kovács Kristóf , Kürti Gergely, Magyar Gábor Balázs, Mészáros Ádám, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Tárnok Ede , Téglás Panna, Toronyi András, Vágó Botond, Vig Zsófia. 4 pontot kapott: Csonka Illés, Fábián-Kovács Árpád, Waldhauser Miklós. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 6 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2021. novemberi fizika feladatai