Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5357. feladat (2021. november)

P. 5357. Vízszintes asztallapon fekszik egy homogén tömegeloszlású rúd. Ezt a rudat lassan függőleges helyzetbe hozzuk az egyik végére ható, a rúdra mindenkor merőleges erővel. Legalább mekkora a rúd és az asztallap közötti tapadási súrlódási együttható, ha a rúd nem csúszik meg felállítás közben?

Amerikai feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. december 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Jelöljük a rúd súlyát \(\displaystyle G\)-vel, hosszát \(\displaystyle \ell\)-lel, a felső végénél ható erőt \(\displaystyle F\)-fel, az alsó végénél ható nyomóerőt \(\displaystyle N\)-nel, és végül a súrlódási erőt \(\displaystyle S\)-sel (lásd az ábrát).

Amikor a rúd \(\displaystyle \varphi\) szöget zár be a vízszintessel, a következő összefüggések érvényesek:

\(\displaystyle S=F\sin\varphi\qquad \text{(vízszintes erők egyensúlya)},\)

\(\displaystyle N+F\cos\varphi=G\qquad \text{(függőleges erők egyensúlya)},\)

\(\displaystyle F\ell =G\frac{\ell}{2} \cos\varphi\qquad \text{(forgatónyomatékok egyensúlya)}.\)

Innen \(\displaystyle S\) és \(\displaystyle N\) kifejezhető \(\displaystyle G\) segítségével:

\(\displaystyle S=\frac{\sin\varphi\,\cos\varphi}{2}G,\)

\(\displaystyle N=\left(1-\frac{\cos^2\varphi}{2}\right) G.\)

A rúd akkor nem csúszik meg az alsó végpontjánál, ha

\(\displaystyle \mu>\frac{S}{N}=\frac{\sin\varphi\,\cos\varphi}{2-\cos^2\varphi}\equiv f(\varphi).\)

\(\displaystyle f(\varphi)\) arányos a \(\displaystyle 2\sin^2\varphi\) és a \(\displaystyle \cos^2\varphi\) mértani és számtani közepének a hányadosával, tehát akkor maximális, ha e két mennyiség megegyezik:

\(\displaystyle f(\varphi)= \frac{1}{\sqrt{8}}\cdot \frac{\sqrt{2\,\sin^2\varphi}\sqrt{\cos^2\varphi}} {\frac12\left(2\,\sin^2\varphi+\cos^2\varphi\right) }\le \frac{1}{\sqrt{8}}=\mu_\text{krit.}. \)

(Ugyanezt grafikus ábrázolással, vagy felsőbb matematikai módszerekkel is beláthatjuk.)

Ha tehát

\(\displaystyle \mu>\mu_\text{krit.}\approx 0{,}35,\)

akkor a rúd a felállítása során semelyik helyzeténél nem csúszik meg.


Statisztika:

A P. 5357. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. novemberi fizika feladatai