Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5387. feladat (2022. február)

P. 5387. Egy \(\displaystyle U_0\) üresjárási feszültségű, \(\displaystyle R_{\rm b}\) belső ellenállású telepre különböző \(\displaystyle R\) nagyságú külső ellenállásokat kapcsolunk.

\(\displaystyle a)\) Mekkora maximális ,,hasznos'' (a külső ellenállásra jutó) teljesítményt nyújthat ez a telep? Milyen \(\displaystyle R\) esetén érhetjük el a legnagyobb \(\displaystyle P_\text{max}\) teljesítményt?

\(\displaystyle b)\) Mutassuk meg, hogy bármely, \(\displaystyle P_\text{max}\)-nál kisebb \(\displaystyle P\) hasznos teljesítmény két különböző, \(\displaystyle R_1\ne R_2\) nagyságú külső ellenállás esetén is megvalósulhat. Mekkora az \(\displaystyle R_1\) és \(\displaystyle R_2\) számtani, illetve mértani középértéke?

\(\displaystyle c)\) Mekkora a fenti két esetben mérhető kapocsfeszültségek összege?

\(\displaystyle d)\) Mekkora az \(\displaystyle R_1\), illetve \(\displaystyle R_2\) ellenálláson folyó áramok összege?

\(\displaystyle e)\) Az energialeadás hatásfokát a hasznos teljesítmény és a telep által leadott összes teljesítmény hányadosaként értelmezzük. Mekkora a fenti két eset hatás­fokának összege?

Közli: Siposs András, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. március 16-án LEJÁRT.


Megoldás. Az áramkörben

\(\displaystyle I=\frac{U_0}{R+R_{\rm b}}\)

erősségű áram folyik, így a külső, \(\displaystyle R\) nagyságú ellenállásra jutó (ott disszipálódó) teljesítmény

\(\displaystyle P=I^2R=U_0^2\frac{R}{\left(R_{\rm b}+R\right)^2}.\)

Ez az egyenlet (adott \(\displaystyle P\), \(\displaystyle U_0\) és\(\displaystyle R_{\rm b}\) esetén) \(\displaystyle R\)-re nézve másodfokú:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle R^2+\left(2R_{\rm b}-\frac{U_0^2}P\right)R+R_{\rm b}^2=0.\)

\(\displaystyle a)\) Az (1) egyenletnek akkor van valós megoldása, ha a diszkrimináns nemnegatív:

\(\displaystyle \left(2R_{\rm b}-\frac{U_0^2}P\right)^2\ge 4R_{\rm b}^2,\)

vagyis

\(\displaystyle P\le \frac{U_0^2}{4R_{\rm b}}=P_\text{max}.\)

Amennyiben \(\displaystyle P=P_\text{max}\), az (1) egyenlet gyökei: \(\displaystyle R_1=R_2=R_{\rm b}.\)

\(\displaystyle b)\) Ha \(\displaystyle P<P_\text{max},\) akkor a másodfokú egyenletnek két különböző gyöke van. A gyökök és együtthatók közötti összefüggésekből következik, hogy a gyökök összege

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle R_1+R_2= \frac{U_0^2}P-2R_{\rm b},\)

a szorzatuk pedig

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle R_1R_2=R_{\rm b}^2.\)

Ennek megfelelően a \(\displaystyle R_1\) és \(\displaystyle R_2\) számtani közepe

\(\displaystyle \frac{R_1+R_2}{2}=\frac{U_0^2}{2P}-R_{\rm b},\)

a mértani közepük pedig

\(\displaystyle \sqrt{R_1R_2}=R_{\rm b}.\)

\(\displaystyle c)\) \(\displaystyle R\) terhelő ellenállás esetén a kapocsfeszültség:

\(\displaystyle U =U_0-IR_{\rm b}=U_0\frac{R}{R+R_{\rm b}}.\)

Az (1) egyenlet két gyökéhez tartozó kapocsfeszültségek összege:

\(\displaystyle U_1+U_2=U_0\left(\frac{R_1}{R_1+R_{\rm b}}+\frac{R_2}{R_2+R_{\rm b}}\right)= \frac{2R_1R_2+\left(R_1+R_2\right)R_{\rm b} }{R_1R_2+\left(R_1+R_2\right)R_{\rm b}+R_{\rm b}^2 }\,U_0=U_0.\)

Az utolsó lépésnél kihasználtuk (3)-t.

\(\displaystyle d)\) Az áramok összege:

\(\displaystyle I_1+I_2=\frac{U_0}{R_1+R_{\rm b}}+\frac{U_0}{R_2+R_{\rm b}}=U_0\frac{\left(R_1+R_2\right)+2R_{\rm b} } {R_1R_2+\left(R_1+R_2\right)R_{\rm b}+R_{\rm b}^2 } =\frac{U_0}{R_{\rm b}}.\)

Az utolsó lépésben ismét kihasználtuk, hogy (3) szerint \(\displaystyle R_1R_2=R_{\rm b}^2\).

\(\displaystyle e)\) A hartásfok \(\displaystyle R\) terhelőellenállás esetén:

\(\displaystyle \eta=\frac{P_\text{hasznos}}{P_\text{összes}}=\frac{I^2R}{U_0I}=\frac{IR}{U_0}=\frac{R}{R+R_{\rm b}}.\)

A kétféle terheléshez tartozó hatásfokok összege:

\(\displaystyle \eta_1+\eta_2=\frac{R_1}{R_1+R_{\rm b}}+\frac{R_2}{R_2+R_{\rm b}}= \frac { 2R_1R_2+\left(R_1+R_2\right)R_{\rm b} } {R_1R_2+\left(R_1+R_2\right)R_{\rm b}+R_{\rm b}^2 }=1.\)

Megjegyzés. Érdekes, hogy a \(\displaystyle c)\), \(\displaystyle d)\) és \(\displaystyle e)\) kérdésekre adott válasz nem függ a \(\displaystyle P\) teljesítmény nagyságától.


Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Antalóczy Szabolcs, Beke Bálint, Biebel Botond, Brezina Gergely, Dóra Márton, Hauber Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Katona Attila Zoltán, Mozolai Bende Bruno, Nemeskéri Dániel, Papp Marcell Imre, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Toronyi András, Varga Mária Krisztina, Veszprémi Rebeka Barbara, Waldhauser Miklós.
3 pontot kapott:Tatár Ágoston.
2 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2022. februári fizika feladatai