A P. 5402. feladat (2022. április)

P. 5402. Egy $\displaystyle R$ sugarú, elhanyagolható tömegű, vékony hengeres abroncsra egy $\displaystyle m$ tömegű, pontszerű nehezéket erősítettünk. Az abroncs az ábrán látható labilis egyensúlyi helyzetéből kimozdul, és akkor csúszik meg a talajon, amikor középpontjának elmozdulása éppen $\displaystyle R$. Mekkora a tapadási súrlódási együttható az abroncs és a vízszintes talaj között?

Közli: Balogh Péter, Gödöllő

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. május 16-án LEJÁRT.

I. megoldás. Az abroncsot és a pontszerű nehezéket tekinthetjük egyetlen merev testnek, amelynek tömegközéppontja a nehezéknél van, így a tömegközéppontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka elhanyagolhatóan kicsi, nullának tekinthető. A megcsúszás pillanatában az abroncs középpontjának elmozdulása $\displaystyle R$, az abroncs elfordulása tehát az ábrának megfelelően

$\displaystyle \alpha=1\ \text{radián}=57{,}3^\circ.$

1. ábra

A talajnál ható $\displaystyle N$ nyomóerő és $\displaystyle S$ súrlódási erő eredője a tömegközéppont, vagyis a nehezék irányába mutat, hiszen a rendszer tehetetlenségi nyomatéka erre a pontra vonatkoztatva nulla. Az ábráról leolvashatjuk, hogy a tapadási súrlódási együttható

$\displaystyle \mu_0=\frac{S}{N}={\rm tg}\,\frac{\alpha}{2}\approx 0{,}55.$

II. megoldás. Az $\displaystyle \alpha=1$ radián szöggel elfordult helyzetben az abroncs és a hozzá erősített nehezék a $\displaystyle P$ ponton átmenő, a szimmetriatengellyel párhuzamos egyenes (az ún. pillanatnyi forgástengely) körül fordul el, így a nehezék $\displaystyle \boldsymbol v$ sebességvektora merőleges a $\displaystyle PQ$ egyenesre.

2. ábra

Másrészt tudjuk, hogy a talaj által kifejtett $\displaystyle \boldsymbol F$ erő (ami a karika közvetítésével a nehezékre ható kényszererővel egyezik meg) nem végez munkát, emiatt $\displaystyle \boldsymbol F$ merőleges $\displaystyle \boldsymbol v$-re, vagyis $\displaystyle PQ$ irányú. Fennáll tehát, hogy

$\displaystyle \mu_0=\frac{S}{N}={\rm tg}\,\frac{\alpha}{2}\approx 0{,}55.$

Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Bálint, Bencz Benedek, Dóra Márton, Kertész Balázs, Nemeskéri Dániel, Toronyi András.
4 pontot kapott:	Somlán Gellért, Téglás Panna.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. áprilisi fizika feladatai