A P. 5417. feladat (2022. május)

P. 5417. Vízszintes talajon álló $\displaystyle R$ sugarú, elhanyagolható tömegű keskeny hengeres abroncs tetejére kis méretű, $\displaystyle m$ tömegű nehezéket helyezünk (de nem erősítjük hozzá), és a rendszert a labilis egyensúlyi helyzetéből kimozdítjuk. Az egyre gyorsabban guruló abroncsról a kis test valahol lerepül.

$\displaystyle a)$ Legalább mekkora az érintkező felületek között a tapadási súrlódási együttható, ha a mozgás során sem a kis test az abroncson, sem az abroncs a talajon nem csúszik meg?

$\displaystyle b)$ Hol fog földet érni a lerepülő kis test?

Közli: Balogh Péter, Gödöllő

(6 pont)

A beküldési határidő 2022. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük az abroncsnak azt a helyzetét, amelyben a kezdeti (labilis) egyensúlyi helyzetéhez képest csúszásmentesen gördülve $\displaystyle \varphi$ szöggel elfordult, vagyis a $\displaystyle C$ középpontja $\displaystyle R\varphi$ utat tett meg. A kicsiny nehezék nem csúszik el az abroncson, nem is repül le róla, hanem egy ideig még az abroncs kezdetben legmagasabban lévő $\displaystyle A$ pontjánál marad. Vegyük fel a kis testre, illetve az abroncsra ható erőket az 1. ábrán látható módon.

A kicsiny nehezékre $\displaystyle mg$ nagyságú, függőlegesen lefelé mutató nehézségi erő hat, továbbá sugár irányban $\displaystyle N$ nagyságú nyomóerővel és érintő irányban $\displaystyle S$ nagyságú súrlódási erővel hat rá az abroncs.

1. ábra

Az abroncsra az $\displaystyle A$ pontban hat a nyomóerő és a súrlódási erő ellenereje, valamint a talajjal érintkező $\displaystyle B$ pontjánál hat rá valamekkora $\displaystyle N'$ nyomóerő és $\displaystyle S'$ súrlódási erő. Ha a tapadó súrlódási együttható mindkét érintkező felületnél $\displaystyle \mu_0$, akkor a csúszásmentes mozgás feltétele:

Ezeknek mindaddig fenn kell állni, ameddig a kis test le nem repül az abroncsról. Ez akkor következik be, amikor az $\displaystyle N$ egészen nulláig csökken, majd előjelet váltva negatívvá ,,akarna'' válni. Az abroncs azonban nem tud húzóerőt kifejteni a kis testre, így az lerepül az abroncsról.

A továbblépéshez meg kell határoznunk az $\displaystyle N(\varphi)$, $\displaystyle S(\varphi)$, $\displaystyle N'(\varphi)$ és $\displaystyle S(\varphi)$ függvényeket. Ezt a Newton-féle mozgásegyenletek felírásával tehetjük meg.

Az abroncs tömege és a tehetetlenségi nyomatéka is elhanyagolhatóan kicsi, emiatt a rá ható erők eredőjének és a forgatónyomatékok eredőjének is nullának kell lennie. (Ezek a feltételek – jóllehet az abroncs gyorsul – megegyeznek a statikus egyensúly feltételeivel.) Az abroncs középpontjára vonatkoztatva csak a két súrlódási erőnek van forgatónyomatéka, és azok eredője akkor lesz nulla, ha

Azt is mondhatjuk, hogy az abroncsra az $\displaystyle A$ pontban ható erők eredőjének hatásvonala át kell hogy menjen a $\displaystyle B$ ponton (hogy arra vonatkoztatva ne legyen forgatónyomatéka), és hasonlóan a $\displaystyle B$ pontban ható erők eredője $\displaystyle A$ felé kell hogy mutasson. Az egyenlő szárú $\displaystyle ABC$ háromszög egyik külső szöge $\displaystyle \varphi$, és ez megegyezik a két (egyforma nagyságú) belső szög összegével. Így tehát fennáll

és ebből (2) miatt

is következik. A tiszta gördülés és a kis test csúszásmentes mozgásának (1) feltétele szerint

Ennek a feltételnek a kis test lerepülését jellemző $\displaystyle \varphi_0$ szögig mindvégig fenn kell állnia, vagyis teljesülnie kell a

egyenlőtlenségnek.

Legyen az abroncs középpontjának sebessége és gyorsulása $\displaystyle \varphi$ szögelfordulás után $\displaystyle v(\varphi)$ és $\displaystyle a(\varphi)$. A kis test sebessége két részből tevődik össze: a $\displaystyle C$ pont $\displaystyle v$ nagyságú vízszintes sebességéből és a körmozgás ugyancsak $\displaystyle v$ nagyságú, de érintő irányú (a vízszintessel $\displaystyle -\varphi$ szöget bezáró) kerületi sebességből (2. ábra).

2. ábra

Az energiamegmaradás törvénye szerint

$\displaystyle mgR(1-\cos\varphi)=\frac{m}{2}(v+v\cos\varphi)^2+\frac{m}{2}(-v\sin\varphi)^2=\frac{mv^2}{2}(2+2\cos\varphi),$

tehát

Mindaddig, amíg a kis test le nem repül az abroncsról, a két test egyetlen merev testnek tekinthető, amelynek az össztömege $\displaystyle m$, tömegközéppontja a kis test $\displaystyle A$ pontja, és a tömegközépppontjára vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka elhanyagolhatóan kicsi, vagyis nullának tekinthető. Erre a merev testre csak három külső erő hat: $\displaystyle \boldsymbol N'$, $\displaystyle \boldsymbol S'$ és $\displaystyle m\boldsymbol g$. A tömegközéppont gyorsulása három tagból áll: az abroncs $\displaystyle C$ középpontjának vízszintes irányú és $\displaystyle a$ nagyságú ,,transzlációs gyorsulásából'', a $\displaystyle C$ pont körüli gyorsuló körmozgás ugyancsak $\displaystyle a$ nagyságú, de érintő irányú kerületi gyorsulásából, és végül a körmozgás centripetális gyorsulásából, ami $\displaystyle AC$ irányú és

$\displaystyle a_{\rm cp}=\frac{v^2}{R}=g\,\tg^2\frac{\varphi}{2}$

nagyságú (3. ábra).

3. ábra

A Newton-egyenletek:

(Megjegyzés: A (10) egyenlet megegyezik a korábban már megkapott (3)-mal.)

A (8), (9) és (10) lineáris egyenletrendszer megoldása:

$\displaystyle a)$ (11)-ből következik, hogy a kis test $\displaystyle \varphi_0=\frac{\pi}{2}$ szögnél válik el az abroncstól, és ekkor vízszintes irányban is, és függőleges irányban is

$\displaystyle v_0= \sqrt{Rg}\tg\frac{\pi}{4}=\sqrt{Rg}$

sebessége van. A csúszásmentes mozgás feltétele az, hogy a tapadási súrlódási együttható legalább $\displaystyle \mu_0^\text{min}=\tg\frac{\varphi_0}{2}=1$ legyen.

A további mozgás során a kis test $\displaystyle R$ magasságból, $\displaystyle v_0$ kezdősebességű szabadeséssel mozog. A talajra érkezés idejére

$\displaystyle \frac{g}{2}t^2+v_0t=R$

érvényes, ahonnan $\displaystyle t_0=(\sqrt3-1)\frac{R}{g}$. Ennyi idő alatt a lerepülő test az abroncstól való elválás helyétől vízszintes irányban $\displaystyle v_0t_0=(\sqrt3-1)R,$ az indulás $\displaystyle O$ pontjától összesen

$\displaystyle \frac{\pi}{2}R+R+(\sqrt3-1)R=\left(\frac{\pi}{2}+\sqrt3\right)R\approx 3{,}3\,R$

távolságban éri el a talajt.

Megjegyzések. 1. Elvben elképzelhető lenne, hogy az abroncsról lerepülő kis test – még mielőtt elérné a talajt – összeütközik a $\displaystyle v_0$ sebességgel guruló abronccsal. Ez azonban kizárt, hiszen a ferde hajítást elszenvedő kis test vízszintes irányú sebessége is $\displaystyle v_0$, tehát mindvégig az abroncs szélével egyvonalban, az abroncs alatt található, tehát az $\displaystyle O$ ponttól mért távolsága $\displaystyle R$-nél nagyobb.

2. A gördülő abronccsal együtt mozgó test pályája egy ciklois. A mozgás tehát éppen olyan, mint egy ciklois alakú, rögzített pályán súrlódásmentesen lecsúszó test mozgása. A test akkor repül le a cikloisról, amikor a kényszererő nullává válik, vagyis amikor a nehézségi erőnek a pályára merőleges komponense éppen megegyezik a centripetális gyorsulással. A ciklois jellemző adataiból (meredekség és görbület), valamint az energiamegmaradás törvényéből is megkapható a kényszerpálya elhagyásának helye.

3. A (13) összefüggést közvetlenül is megkaphatjuk, ha képezzük (7) mindkét oldalának az idő szerinti deriváltját:

$\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \left(v^2\right)=2va= \frac{\rm d}{{\rm d}\varphi} \left( Rg\frac{1-\cos\varphi}{1+\cos\varphi}\right) \cdot \frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}t}=2Rg\frac{\sin\varphi}{(1+\cos\varphi)^2}\cdot \frac{v}{R},$

ahonnan

$\displaystyle a=\frac{\sin\varphi}{(1+\cos\varphi)^2}\,g.$

Ezt (8)-ba helyettesítve (11), (9)-be írva pedig (12) adódik.

4. Amikor a kis test lerepül az abroncsról, akkor $\displaystyle N=S=0$. A kis test vízszintes irányú gyorsulása $\displaystyle g-v_0^2/R=0$, függőleges irányú gyorsulása pedig $\displaystyle a=g$. Érdekes, hogy az abroncs középpontjának vízszintes irányú gyorsulása közvetlenül a lerepülést megelőző pillanatban $\displaystyle a=g\ne 0$, jóllehet az abroncsra ható erő ekkor nullává válik. Ez azonban nincs ellentmondásban Newton $\displaystyle F=m_\text{abroncs}a$ törvényével, hiszen $\displaystyle m_\text{abroncs}$ elhanyagolhatóan kicsi, nullának tekinthető.

Statisztika:

4 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2022. májusi fizika feladatai