 |
A P. 5424. feladat (2022. szeptember) |
P. 5424. Az ábrán látható kondenzátorrendszert 5 darab négyzet alakú, \(\displaystyle A\) területű, töltetlen fémlemezből állítottuk össze. A lemezek távolsága \(\displaystyle \ell\), illetve \(\displaystyle 2\ell\), a széleffektusok \(\displaystyle \ell^2\ll A\) miatt elhanyagolhatóak.
A lemezek között levegő, illetve a barna színnel jelölt térrészekben \(\displaystyle \varepsilon_{\mathrm{r}}\) relatív dielektromos állandójú szigetelő anyag van. A dielektrikum mindkét esetben az adott helyen lévő kondenzártorlemezek közötti térfogat felét tölti ki.
Mekkora az elrendezés eredő kapacitása?
Közli: Balogh Péter, Gödöllő
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. október 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük az \(\displaystyle A\) területű, \(\displaystyle \ell\) lemeztávolságú, levegőben (gyakorlatilag vákuumban) elhelyezkedő síkkondenzátor \(\displaystyle \varepsilon_0 A/\ell\) kapacitását \(\displaystyle C_0\)-lal.
Az 5 fémlemez által határolt 4 térrész 4 darab sorosan kapcsolt kondenzátornak tekinthető. Ezek közül a balról az első és a harmadik kondenzátor kapacitása ugyanakkora:
\(\displaystyle C_1=C_3=C_0. \)
A második egység két párhuzamosan kapcsolt kondenzátornak, a negyedik pedig két sorosan kapcsolt kondenzátornak tekinthető. Mivel a kapacitás a lemezek területével és a relatív dielektromos állandóval egyenesen, a lemezek távolságával pedig fordítottan arányos, ezt kapjuk:
\(\displaystyle C_2=\frac{1}{4}\left(1+\varepsilon_{\rm r}\right)C_0,\)
továbbá
\(\displaystyle C_4=\left(1+\frac{1}{\varepsilon_{\rm r}}\right)^{-1}C_0=\frac{\varepsilon_{\rm r}}{1+\varepsilon_{\rm r}}C_0.\)
Az eredő kapacitás ezek szerint
\(\displaystyle C_\text{eredő}=\left(\frac{1}{C_1} +\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}+\frac{1}{C_4}\right)^{-1}C_0= \frac{\varepsilon_{\rm r}(1+\varepsilon_{\rm r})}{3\varepsilon^2_{\rm r}+8\varepsilon_{\rm r}+1}\,\frac{\varepsilon_0A}{\ell}.\)
Statisztika:
26 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Arnold Lőrinc, Bencz Benedek, Chrobák Gergő, Fazekas Marcell, Hüvös Gergely, Kondor Botond Dávid, Lévai Dominik Márk, Lincoln Liu, Molnár Kristóf, Ruzsa Bence Márk, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Vágó Botond, Vári Gergely Péter. 4 pontot kapott: Kismárton Gábor, Nemeskéri Dániel. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2022. szeptemberi fizika feladatai