Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5462. feladat (2023. január)

P. 5462. Elhanyagolható tömegű rugóhoz hosszú hasábot erősítünk. Ha a rugót a másik végénél fogva felfüggesztjük, megnyúlása \(\displaystyle s=15\) cm lesz. Ezután a rugót és a hasábot vízszintes, súrlódásmentes síkra helyezzük, és a rugó szabad végét rögzítjük. A hasábot az ábrán látható módon \(\displaystyle \ell\) távolsággal hátrahúzzuk, így a rugó megnyúlik. Végül a hasáb felső lapjára, annak rugó felőli végére egy kocka alakú testet helyezünk. A hasáb és a kocka közötti (tapadási és csúszási) súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).

Ha a hasábot elengedjük, a rendszer mozgásba jön, és a kocka elcsúszik a hasábon. A két test közötti csúszás azt a pillanatot követően szűnik meg, amikor a hasáb gyorsulása nullává válik.

\(\displaystyle a)\) Mennyi ideig csúszott a kocka a hasábon?

\(\displaystyle b)\) Legalább mekkora az \(\displaystyle \ell\) távolság, ha a leírt mozgás létrejöhetett?

\(\displaystyle c)\) Mekkora távolsággal csúszott el a kocka a hasábon?

Közli:Wiedemann László, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2023. február 15-én LEJÁRT.


Megoldás.Jelöljük a rugó direkciós erejét \(\displaystyle D\)-vel, a hasáb tömegét \(\displaystyle M\)-mel, a kocka tömegét \(\displaystyle m\)-mel. A függőlegesen tartott rugónál a hasáb egyensúlyának feltétele:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle Mg=Ds.\)

Tételezzük fel egy pillanatra, hogy a hasáb elengedésekor a kocka nem kezd el csúszni, hanem együtt mozog a hasábbal. A két test \(\displaystyle a\) gyorsulását a \(\displaystyle D\ell\) rugóerő okozza:

\(\displaystyle D\ell=(M+m)a, \qquad \text{tehát}\qquad a=\dfrac{D\ell}{M+m}.\)

A súrlódási erő, ami a testek között hat (a hasábot fékezi, a kocka alakú testet gyorsítja) nem lehet nagyobb, mint \(\displaystyle \mu mg\), tehát a kocka maximális gyorsulása (amikor nem csúszik a hasábon) \(\displaystyle a_{\rm max}=\mu g\). A kis test tehát csak akkor nem csúszik meg a hasábon, ha

\(\displaystyle \dfrac{D\ell}{M+m}\le \mu g, \qquad \text{vagyis}\qquad\ell\le \dfrac{\mu g}{D}(M+m).\)

Ha ez a feltétel nem teljesül, hanem

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle \ell> \dfrac{\mu g}{D}(M+m),\)

a kis test ,,lemarad'' a hasábhoz képes, tehát elcsúszik azon. A továbbiakban feltételezzük, hogy ez következik be, és a (2) egyenlőtlenség teljesülését majd később ellenőrizzük.

\(\displaystyle a)\) Legyen a hasáb távolsága a nyújtatlan rugó végpontjától \(\displaystyle x(t)\), a kocka távolsága pedig \(\displaystyle y(t)\). (Az időt a hasáb elengedésének pillanatától kezdődően mérjük.) Mivel a rugóerő ilyenkor \(\displaystyle -Dx\), a súrlódási erő pedig \(\displaystyle \mu mg\), a két test mozgásegyenlete:

\(\displaystyle Ma_x=-D x+\mu mg,\)

ami így is felírható:

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle Ma_x=-D \left(x -\frac{\mu mg}D\right), \)

továbbá

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle ma_y=-\mu mg.\)

Látható, hogy az \(\displaystyle x -\frac{\mu mg}D\) változóra a harmonikus rezgőmozgás egyenlete áll fenn, amelynek megoldása (az \(\displaystyle x(0)=\ell\) és \(\displaystyle v_x(0)=0\) kezdeti feltételeket is figyelembe véve):

\(\displaystyle (5)\)\(\displaystyle x(t)=\frac{\mu mg}D+\left(\ell-\frac{\mu mg}D\right)\cos(\omega t),\)

ahol

\(\displaystyle (6)\)\(\displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{D}{M}},\)

továbbá a hasáb sebessége

\(\displaystyle (7)\)\(\displaystyle v_x(t)=-\left(\ell-\frac{\mu mg}D\right)\omega\sin(\omega t).\)

A (3) egyenlet könnyebben megoldható, hiszen az egy egyenletesen gyorsuló test mozgásegyenlete:

\(\displaystyle (8)\)\(\displaystyle y(t)=\ell-\dfrac{\mu g}{2}t^2,\)

a kocka pillanatnyi sebessége pedig:

\(\displaystyle (9)\)\(\displaystyle v_y(t)=- \mu gt.\)

A hasáb gyorsulása negyed rezgés után csökken nullára:

\(\displaystyle (10)\)\(\displaystyle t_0=\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{M}{D}},\)

ami (1) alapján így is írható:

\(\displaystyle t_0=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{s}{g}}=0{,}2\ \rm s.\)

\(\displaystyle b)\) A csúszás akkor szűnik meg, amikor a két test sebessége megegyezik:

\(\displaystyle v_x(t_0)=v_y(t_0),\)

ahonnan (6), (7), (9) és (10) felhasználásával kapjuk, hogy

\(\displaystyle \ell=\dfrac{\mu gM}{D}\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{m}{M}\right).\)

Innen látszik, hogy a (2) feltétel biztosan teljesül, hiszen \(\displaystyle \pi/2>1\). Az \(\displaystyle m\) tömeg nagyságát nem ismerjük, de biztosan igaz, hogy \(\displaystyle m>0\), ennek megfelelően

\(\displaystyle \ell>\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{\mu M g}{D}=\dfrac{\pi}{2}\,\mu s=0{,}047\ {\rm m} \approx 5\ \rm cm.\)

\(\displaystyle c)\) A kockának a hasábhoz viszonyított elmozdulása (tehát a csúszásának hossza) \(\displaystyle t_0\) idő alatt

\(\displaystyle \Delta s=y(t_0)-x(t_0), \)

ami (5), (8) és (10) szerint

\(\displaystyle \Delta s=\mu s\left[\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{m}{M}\right)-\dfrac{\pi^2 }8\right] -\mu s\dfrac{m}{M}=\mu s \left( \dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi^2 }8\right)\approx 1\ \rm cm.\)

(Érdekes, hogy \(\displaystyle \Delta s\) nem függ a kocka \(\displaystyle m\) tömegétől, emiatt nem okozott problémát, hogy annak nagysága nem szerepelt a megadott számadatok között.)

Megjegyzés. Belátható, hogy a csúszás megszűnte után, amikor a hasáb és a kocka egyetlen testként mozog, a kockára ható (vízszintes) erő nem haladja meg a \(\displaystyle \mu mg\) kritikus értéket, tehát a továbbiakban semmikor nem kezd újra csúszni.

A csúszás megszűntének pillanatában mind a hasáb, mind pedig a kocka gyorsulása ugrásszerűen megváltozik, a közös gyorsulásuk a tömegközéppont korábbi gyorsulásával egyezik meg.


Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:Bencz Benedek, Flóring Balázs, Molnár Kristóf, Szabó Zsombor.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2023. januári fizika feladatai