Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5467. feladat (2023. február)

P. 5467. Egy 20 cm hosszú, \(\displaystyle 3~\mathrm{cm}^2\) keresztmetszetetű, megfelelő elektromos szigeteléssel ellátott rézrúdon teljes hosszában egyenletesen feltekert fűtőszál van. A rudat függőlegesen tartjuk úgy, hogy az alsó vége éppen beleér egy olvadó jeget tartalmazó pohár vizébe, így folyamatosan \(\displaystyle 0\;{}^\circ\)C hőmérsékletű marad. Hány fokra melegszik fel elegendően hosszú idő alatt a rúd másik vége, ha a fűtőszál 100 W teljesítménnyel melegíti a rézrudat?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. március 16-án LEJÁRT.


I. megoldás. A Newton-féle hővezetési törvény szerint (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatokban a Hőátadás alpontot) a rúd kicsiny, \(\displaystyle \Delta x\) hosszúságú, \(\displaystyle A\) keresztmetszetű darabján időegységenként

\(\displaystyle \Phi=\frac{Q}{t}=-\lambda A\frac{\Delta T}{\Delta x}\)

hő áramlik át, ahol \(\displaystyle \Delta T\) a hőmérsékletkülönbség, \(\displaystyle \lambda\) pedig az anyag hővezetési tényezője. Rézre \(\displaystyle \lambda=395\ \dfrac{\rm W}{\rm m\,K}\).

Esetünkben a \(\displaystyle \Phi\) hőáram nem mindenhol ugyanakkora, hanem a rúd mentén változik. (Feltételezzük, hogy a rézrúdból a hő csak a víz felé távozhat.) Ha a rúd hossza \(\displaystyle \ell\) és a fűtőszál teljesítménye \(\displaystyle P\), akkor a rúd felső végétől \(\displaystyle x\) távolságban

\(\displaystyle \Phi(x)=\dfrac{x}{\ell}P,\)

hiszen az \(\displaystyle x\) hosszúságú szakaszon leadott teljesítmény a fűtőszál hosszával arányos.

Látható, hogy a hőáram az \(\displaystyle x\) távolság lineáris függvénye, tehát az átlagos értéke

\(\displaystyle \Phi_\text{átlag}=\dfrac{\Phi_\text{min}+\Phi_\text{max}}{2}=\dfrac{\Phi(0)+\Phi(\ell)}{2}= \dfrac{P}{2}.\)

Ha a rúd felső végének (Celsius-fokban mért) hőmérséklete \(\displaystyle T\), akkor felírhatjuk:

\(\displaystyle \Phi_\text{átlag}= -\lambda A\frac{\Delta T}{ \ell}=-\lambda A\frac{0-T}{ \ell}= \frac{ \lambda A T}{ \ell},\)

vagyis

\(\displaystyle T=\frac{P \ell}{2\lambda A}\approx 84\ ^\circ\rm C.\)

II. megoldás. A hővezetés egyenlete szerint (az I. megoldás jelöléseivel)

\(\displaystyle \Phi(x) =-\lambda A\frac{\Delta T(x)}{\Delta x},\)

az energiaáramlás mérlegegyenlete pedig

\(\displaystyle \dfrac{\Delta\Phi}{\Delta x}=\dfrac{P}{\ell}.\)

Tudjuk, hogy \(\displaystyle \Phi(0)=0\) (hiszen a rúd legtetején még nincs elvezetendő hő), továbbá (az olvadó jég miatt) \(\displaystyle T(\ell)=0\).

A fenti két egyenlet (ami a megváltozásokra vonatkozik, tehát tulajdonképpen differenciálegyenlet) sokkal ismerősebb lesz, ha az alábbi jelöléseket alkalmazzuk:

\(\displaystyle x\qquad\Longleftrightarrow\qquad t,\)

\(\displaystyle T(x)\qquad\Longleftrightarrow\qquad s(t),\)

\(\displaystyle -\dfrac{\Phi(x)}{\lambda A}\quad\Longleftrightarrow\quad v(t),\)

\(\displaystyle \frac{P}{\ell\lambda A}\qquad\Longleftrightarrow\qquad g.\)

Ezekkel a megoldandó egyenletek:

\(\displaystyle v(t)=\frac{\Delta s}{\Delta t},\qquad\frac{\Delta v}{\Delta t}=-g = \text{állandó,}\)

továbbá \(\displaystyle v(0)=0\) és \(\displaystyle s(t=\ell)\)=0. Keressük \(\displaystyle s(0)\) értékét.

Ráismerhetünk, hogy ezek a szabadesés egyenletei, a megoldásuk pedig

\(\displaystyle s(t)=s(0)-\frac{g}2t^2.\)

Kérdés: Milyen magasról ejtsünk le kezdősebesség nélkül egy testet, hogy \(\displaystyle t=\ell\) ,,idő'' alatt érjen le a földre? A válasz ismert: \(\displaystyle s(0)=\dfrac{g}{2}\ell^2\), vagyis a hővezetési probléma megoldása:

\(\displaystyle T(x=0)=\frac{P \ell}{2\lambda A}\approx 84\ ^\circ\rm C.\)


Statisztika:

23 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bencz Benedek, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Dercsényi Bence, Flóring Balázs, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Molnár Kristóf.
4 pontot kapott:Kis Márton Tamás, Klement Tamás, Tárnok Ede , Tóth Kolos Barnabás.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.

A KöMaL 2023. februári fizika feladatai