 |
A P. 5481. feladat (2023. április) |
P. 5481. Egy jármű álló helyzetből indulva egyenletesen gyorsul. A jármű kerekének (egyik legszélső) \(\displaystyle P\) pontja induláskor éppen a talajtól legtávolabbi helyzetében van. Hányszorosára nő a \(\displaystyle P\) pont gyorsulásának nagysága a kerék \(\displaystyle n\) fordulata után?
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(4 pont)
A beküldési határidő 2023. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a jármű gyorsulását \(\displaystyle a_0\)-lal, a kerekének sugarát \(\displaystyle R\)-rel. Ha bizonyos \(\displaystyle t\) idő alatt a kerék \(\displaystyle n\)-et fordul, az autó \(\displaystyle 2\pi nR\) utat tesz meg, fennáll tehát, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{a_0}{2}t^2=2\pi nR. \) |
A \(\displaystyle P\) pont \(\displaystyle n\) fordulat után ismét a talajtól legtávolabbi helyzetébe kerül, így az \(\displaystyle \boldsymbol a\) gyorsulása a vízszintes irányú \(\displaystyle a_1\) tangenciális és a függőleges irányú \(\displaystyle a_2\) centripetális gyorsulás vektori eredője, nagysága
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle a=\sqrt{a_1^2+a_2^2}. \) |
A kerék szöggyorsulása \(\displaystyle \beta=\frac{a_0}{R}\), a kerék tengelyének gyorsulása \(\displaystyle a_0\), az eredő vízszintes irányú gyorsulás tehát
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle a_1=a_0+R\beta=2a_0. \) |
(Ezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogy észrevesszük: a kerék a talajjal érintkező pontja körül is \(\displaystyle \beta\) szöggyorsulással forog, a talajtól éppen \(\displaystyle 2R\) távol lévő \(\displaystyle P\) pont tangenciális gyorsulása tehát \(\displaystyle a_1=2R\cdot \beta=2a_0\).)
A függőleges irányú centripetális gyorsulás a kerék pillanatnyi szögsebességéből számolható ki:
\(\displaystyle \omega= \beta\,t=\frac{a_0}{R}t,\)
tehát
\(\displaystyle a_2=R\omega^2=\frac{a_0^2}{R}t^2.\)
Mivel (1) szerint \(\displaystyle t^2=4\pi nR/a_0,\) kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle a_2=4\pi n a_0.\) |
(3) és (4)-et (2)-be helyettesítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle a=2a_0\sqrt{1+(2\pi n)^2}.\)
A \(\displaystyle P\) pont gyorsulása induláskor \(\displaystyle 2a_0\), így a kérdéses növekedési faktor:
\(\displaystyle \frac{a}{2a_0}=\sqrt{1+(2\pi n)^2}.\)
(A megoldás során feltételeztük, hogy \(\displaystyle n\) egész szám. )
Statisztika:
35 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Beke Bálint, Csilling Dániel, Csiszár András, Dancsák Dénes, Farkas Dorka Hanna, Halász Henrik, Kis Márton Tamás, Molnár Kristóf, Waldhauser Miklós. 3 pontot kapott: Bodré Zalán, Chrobák Gergő, Csornai-Metz Mátyás , Éliás Kristóf , Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Fülöp Benjámin, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Kristóf , Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Tárnok Ede , Tomesz László Gergő. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2023. áprilisi fizika feladatai