A P. 5481. feladat (2023. április)

P. 5481. Egy jármű álló helyzetből indulva egyenletesen gyorsul. A jármű kerekének (egyik legszélső) $\displaystyle P$ pontja induláskor éppen a talajtól legtávolabbi helyzetében van. Hányszorosára nő a $\displaystyle P$ pont gyorsulásának nagysága a kerék $\displaystyle n$ fordulata után?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a jármű gyorsulását $\displaystyle a_0$-lal, a kerekének sugarát $\displaystyle R$-rel. Ha bizonyos $\displaystyle t$ idő alatt a kerék $\displaystyle n$-et fordul, az autó $\displaystyle 2\pi nR$ utat tesz meg, fennáll tehát, hogy

A $\displaystyle P$ pont $\displaystyle n$ fordulat után ismét a talajtól legtávolabbi helyzetébe kerül, így az $\displaystyle \boldsymbol a$ gyorsulása a vízszintes irányú $\displaystyle a_1$ tangenciális és a függőleges irányú $\displaystyle a_2$ centripetális gyorsulás vektori eredője, nagysága

A kerék szöggyorsulása $\displaystyle \beta=\frac{a_0}{R}$, a kerék tengelyének gyorsulása $\displaystyle a_0$, az eredő vízszintes irányú gyorsulás tehát

(Ezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogy észrevesszük: a kerék a talajjal érintkező pontja körül is $\displaystyle \beta$ szöggyorsulással forog, a talajtól éppen $\displaystyle 2R$ távol lévő $\displaystyle P$ pont tangenciális gyorsulása tehát $\displaystyle a_1=2R\cdot \beta=2a_0$.)

A függőleges irányú centripetális gyorsulás a kerék pillanatnyi szögsebességéből számolható ki:

$\displaystyle \omega= \beta\,t=\frac{a_0}{R}t,$

tehát

$\displaystyle a_2=R\omega^2=\frac{a_0^2}{R}t^2.$

Mivel (1) szerint $\displaystyle t^2=4\pi nR/a_0,$ kapjuk, hogy

(3) és (4)-et (2)-be helyettesítve kapjuk, hogy

$\displaystyle a=2a_0\sqrt{1+(2\pi n)^2}.$

A $\displaystyle P$ pont gyorsulása induláskor $\displaystyle 2a_0$, így a kérdéses növekedési faktor:

$\displaystyle \frac{a}{2a_0}=\sqrt{1+(2\pi n)^2}.$

(A megoldás során feltételeztük, hogy $\displaystyle n$ egész szám. )

Statisztika:

35 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Bálint, Csilling Dániel, Csiszár András, Dancsák Dénes, Farkas Dorka Hanna, Halász Henrik, Kis Márton Tamás, Molnár Kristóf, Waldhauser Miklós.
3 pontot kapott:	Bodré Zalán, Chrobák Gergő, Csornai-Metz Mátyás , Éliás Kristóf , Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Fülöp Benjámin, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Kristóf , Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Tárnok Ede , Tomesz László Gergő.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. áprilisi fizika feladatai