 |
A P. 5486. feladat (2023. április) |
P. 5486. Az ábrán látható áramkör alkotóelemei ideálisak. Kezdetben az egyik kondenzátor töltése \(\displaystyle q_0\), a másik kondenzátor töltetlen.
\(\displaystyle a\)) Mekkora az áramerősség maximuma a K kapcsoló zárását követően?
\(\displaystyle b\)) A kapcsoló zárása után mennyi idővel éri el először a maximumát az áramerősség?
Közli: Kovács Zoltán, Kolozsvár
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a\)) Először is megállapíthatjuk, hogy ha az egyik kondenzátor töltése \(\displaystyle q\), akkor a másiké \(\displaystyle q_0 – q\). Vegyük észre, hogy maximális áramerősség esetén a két kondenzátor együttes feszültsége nulla, mivel árammaximumkor az indukált feszültség nulla. A két kondenzátor együttes feszültsége akkor nulla, ha mindkettőnek \(\displaystyle q_0/2\) a töltése, mivel ilyenkor mindkettő feszültsége \(\displaystyle q_0/2C\), azonban ellentétes polaritással vannak kötve. Az energiamegmaradás törvénye szerint
\(\displaystyle \frac{1}{2} \frac{q_0^2}{C}=2\left( \frac{1}{2} \frac{\left( \frac{q_0}{2} \right)^2}{C}\right) + \frac{1}{2} LI_\textrm{max}^2 ,\)
amiből
\(\displaystyle I_\textrm{max}=\frac{q_0}{\sqrt{2LC}}.\)
\(\displaystyle b\)) Az áram maximuma a bekapcsolás után negyedperiódussal jön létre, amikor mindkét (ellentétes polaritású) kondenzátor töltése \(\displaystyle q_0/2\). A sorosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása \(\displaystyle C^*=C/2\), így a rezgőkör periódusideje
\(\displaystyle T==2\pi \sqrt {LC^*} =2\pi \sqrt{\frac{LC}{2}}.\)
Az első árammaximum eléréséhez szükséges idő tehát
\(\displaystyle t=\frac{T}{4}=\frac{\pi}{4}\sqrt{2LC}.\)
Érdekességként vehetjük még észre azt is, hogy az energia a két kondenzátor között billeg úgy, hogy amikor a töltés fele-fele arányban oszlik meg, akkor a rendszer teljes energiájának a fele esik a tekercsre, negyede-negyede pedig a két kondenzátorra. Amikor tehát maximális áramerősség esetén a tekercs energiája maximális, akkor ez a rendszer teljes energiájának mindössze a fele.
Statisztika:
7 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek, Halász Henrik, Klement Tamás, Papp Marcell Imre, Szabó Zsombor. 2 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2023. áprilisi fizika feladatai