 |
A P. 5489. feladat (2023. április) |
P. 5489. Egy olyan téglalap alakú keretet készítettünk, amelynek \(\displaystyle a\) hosszúságú vízszintes oldalai merev, egyenes, \(\displaystyle m\) tömegű drótszálak, \(\displaystyle b\) hosszúságú függőleges oldalai pedig vékony, elhanyagolható tömegű cérnaszálak.
A keretet az egyik drótszálnál fogva mosogatószeres oldatba mártottuk, majd kiemeltük. A kialakuló hártya mérete a közepénél \(\displaystyle d\) értékre csökkent. Mekkora a folyadék felületi feszültsége?
Adatok: \(\displaystyle a=5\) cm, \(\displaystyle b=8\) cm, \(\displaystyle d=3{,}6\) cm, \(\displaystyle m=2{,}6\) g.
Varga István (1952–2007) feladata
(6 pont)
A beküldési határidő 2023. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A cérnaszálak által kifejtett \(\displaystyle F\) erő és a cérnaszál görbületi sugara között fennálló összefüggés
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle F=2\sigma R,\) |
ahol \(\displaystyle 2\sigma\) a hártya két oldalának együttes felületi feszültsége. (Ezt pl. a cérnaszál kicsiny darabkájára ható erők egyensúlyából kaphatjuk meg.) Mivel \(\displaystyle F\) a cérnaszál mentén nem változik, \(\displaystyle R\) is állandó, tehát a cérnaszál körív alakot vesz fel.
Az ábra jelöléseit követve a
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle b=2\varphi R,\) |
és az
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle R(1-\cos\varphi)=\frac{a-d}{2}\) |
geometriai feltételeket, valamint az alsó drótszál erőegyensúlyának
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle mg=2\sigma a+2F\cos\varphi\) |
feltételét írhatjuk fel.
A (2) és (3) egyenleteket összeszorozva kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{1-\cos\varphi}{\varphi}=\frac{a-d}{b}=0{,}175,\)
amit
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle 2\sin^2\frac{\varphi}2=0{,}175\,\varphi \) |
alakban is felírhatunk. Ennek a trigonometrikus egyenletnek (mint azt számítógépes segítséggel könnyen meghatározhatjuk) \(\displaystyle \varphi\approx0{,}354\) rad a megoldása. Ezt elemi úton is megkaphatjuk, ha a viszonylag kis szögekre érvényes
\(\displaystyle \sin\frac{\varphi}2\approx \frac{\varphi}2\)
összefüggést alkalmazzuk. Ennek megfelelően (5) közelítő, nullától különböző megoldása:
\(\displaystyle \varphi\approx 2\cdot 0{,}175=0{,}350,\)
ami csak 1%-kal tér el a pontosabb eredménytől.
(1) és (2) szerint
\(\displaystyle F=\frac{b\sigma}\varphi,\)
amit (4)-be helyettesítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle 2\sigma\left(a+b\,\frac{\cos\varphi}{\varphi}\right)=mg,\)
ahonnan az adatok és a kiszámított \(\displaystyle \varphi\) szög behelyettesítése után a
\(\displaystyle \sigma\approx 0{,}05\ \frac{\rm N}{\rm m}\)
eredmény adódik. Ez kicsit kisebb, mint a víz felületi feszültsége, amit a mosogatószer okozhatott.
Statisztika:
A P. 5489. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2023. áprilisi fizika feladatai