 |
A P. 5525. feladat (2023. november) |
P. 5525. Egy \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle \varrho\) fajlagos ellenállású, hosszú, hengeres fémhuzalban \(\displaystyle I\) erősségű áram folyik egyenletes eloszlásban. A huzal felületi hőmérséklete állandó \(\displaystyle T_0\) értékű. Határozzuk meg a huzal hőmérsékletét a szimmetriatengelyén, ha ismert, hogy a fém hővezetési tényezője \(\displaystyle \lambda\)!
Közli: Vigh Máté, Biatorbágy
(6 pont)
A beküldési határidő 2023. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle \ell\) hosszúságú vezetéknek \(\displaystyle x\) sugarú belső magját (\(\displaystyle 0<x<r\)), és számítsuk ki, mennyi hő fejlődik egységnyi idő alatt ebben a térrészben. Az áramerősség ebben a belső magban:
\(\displaystyle I(x)=I\frac{x^2}{r^2},\)
az ellenállása pedig
\(\displaystyle R(x)=\varrho\frac{\ell}{x^2\pi}.\)
A hőtermelés teljesítménye:
\(\displaystyle P(x)=I(x)^2\cdot R(x)=\cfrac{I^2x^2\varrho\ell}{r^4\pi}.\)
Ezt a hőteljesítményt – a Newton-féle hővezetési törvény szerint – a felületén keresztül áramlik kifelé:
\(\displaystyle P(x)=-2\pi x\ell\lambda\cdot \frac{\Delta T}{\Delta x}.\)
A fenti két egyenletből azt kapjuk, hogy az \(\displaystyle x\) sugarú henger felületénél a hőmérsékletgradiens
\(\displaystyle \frac{\Delta T}{\Delta x}= \frac{-I^2\varrho}{2\pi^2 r^4\lambda}\cdot x.\)
Látjuk, hogy a hőmérsékletgradiens az \(\displaystyle x\) távolság lineárisan változó függvénye, ezért számolhatunk úgy, mintha az egy állandó,
\(\displaystyle \left(\frac{\Delta T}{\Delta x}\right)_\text{átlag}=\frac12\left(\frac{\Delta T}{\Delta x}\right)_\text{max}=\frac{-I^2\varrho}{4\pi^2 r^3\lambda} \)
lenne. Ennek megfelelően
\(\displaystyle \frac{I^2\varrho}{4\pi^2 r^3\lambda}=\frac{T-T_0}{r},\)
vagyis a szimmetriatengelyen a hőmérséklet:
\(\displaystyle T=T_0 + \frac{I^2\varrho}{4\pi^2 r^2\lambda}.\)
Statisztika:
19 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Aklan Larion, Bencz Benedek, Czirják Márton Pál, Fajszi Karsa, Képes Botond, Seprődi Barnabás Bendegúz. 5 pontot kapott: Hüvös Gergely, Tóth Kolos Barnabás, Žigo Boglárka. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2023. novemberi fizika feladatai