 |
A P. 5528. feladat (2023. december) |
P. 5528. Vízszintes, súrlódásmentesnek tekinthető talajon egy \(\displaystyle d=10~\mathrm{cm}\) oldalélű, homogén tömegeloszlású kocka csúszik \(\displaystyle v_0\) sebességgel. Egyszer csak a kocka a talajhoz csatlakozó, \(\displaystyle \alpha=30^\circ\) hajlásszögű lejtőhöz ér. A lejtő és a talaj ,,törésvonala'' merőleges a kocka haladási irányára. A kocka talajjal érintkező, első oldaléle a törésvonalnál tökéletesen rugalmatlanul megakad, így a kocka megbillen. Legalább mekkora \(\displaystyle v_0\) értéke, ha a kocka elülső oldallapja ,,rábillen'' a lejtőre?
Közli: Vigh Máté, Biatorbágy
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A megbillenő kocka az ütközés után a törésvonal, mint forgástengely körül valamekkora \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel kezd el forogni. A lejtőre történő ,,ráborulás'' feltétele az, hogy \(\displaystyle 45^\circ\)-os szögelfordulása után a mozgási energiája pozitív (határesetben nulla) legyen.
A homogén tömegeloszlású kocka bármelyik élére vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka \(\displaystyle \Theta=\frac23md^2\). (Ezt pl. a táblázatokban megtalálható tömegközéppontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékból a Steiner-tétel alkalmazásával kaphatjuk meg.)
Az ütközés utáni kezdeti szögsebességet a perdületmegmaradás tételének alkalmazásával határozhatjuk meg. A kocka kezdeti (a tömegközéppont mozgásából adódó) perdülete a törésvonalra vonatkoztatva \(\displaystyle mv_0d/2\), ütközés után pedig \(\displaystyle \Theta\omega\). Mivel az ütközés során fellépő erők hatásvonala a törésvonalon halad keresztül, ezek eredő forgatónyomatéka nulla, és így a perdület változatlan marad:
\(\displaystyle mv_0\frac{d}2=\frac23md^2\omega,\)
ahonnan
\(\displaystyle \omega=\frac34\frac{v_0}{d}.\)
A kocka mozgási energiája közvetlenül az ütközés után
\(\displaystyle E=\frac{1}{2}\Theta\omega^2=\frac{3}{16}mv_0^2.\)
Ennek az energiának kell fedeznie a gravitációs helyzeti energia növekedését az ,,éppen átbillenés'' határesetében:
\(\displaystyle \frac{3}{16}mv_0^2\ge mg\left(\frac{\sqrt2 d }{2}-\frac{d}{2}\right).\)
Innen az átbillenéshez szükséges sebesség:
\(\displaystyle v_0>\sqrt{\frac83\left(\sqrt2-1\right)gd}\approx 1{,}04\ \frac{\rm m}{\rm s}.\)
Statisztika:
51 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bogdán Benedek, Csapó András, Csiszár András, Czirják Márton Pál, Fekete Lúcia, Hegedüs Márk, Kis Márton Tamás, Kiss 131 Adorján Timon, Medgyesi Júlia, Molnár Kristóf, Molnár Zétény, Sipeki Árpád, Tárnok Ede . 4 pontot kapott: Seprődi Barnabás Bendegúz. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 16 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai