 |
A P. 5534. feladat (2023. december) |
P. 5534. Legyen egy derékszögű koordináta-rendszer \(\displaystyle x\) tengelye vízszintes, \(\displaystyle y\) tengelye pedig függőleges. Az \(\displaystyle x\) tengely \(\displaystyle 0\le \xi\le h=1~\mathrm{m}\) minden egyes \(\displaystyle x=\xi\) pontját kössük össze az \(\displaystyle y\) tengelyen lévő \(\displaystyle y=h-\xi\) ponttal. Fektessünk egy súrlódásmentes, vékony csövet az előzőek szerint felvett szakaszokból kialakuló sárga ,,síkidom'' burkolójára.
Indítsunk el lökésmentesen egy \(\displaystyle m\) tömegű, kicsiny testet a cső tetejéről. Adjuk meg \(\displaystyle mg\) egységekben, hogy a mozgása során mekkora erővel nyomja a test a cső falát
\(\displaystyle a)\) közvetlenül az indulás után az \(\displaystyle A\) pontban;
\(\displaystyle b)\) a cső \(\displaystyle B\) felezőpontjánál;
\(\displaystyle c)\) közvetlenül a cső elhagyása előtt a \(\displaystyle C\) pontnál!
Közli: Honyek Gyula, Veresegyház
(6 pont)
A beküldési határidő 2024. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A megoldáshoz a következő lépések vezetnek el:
– Meghatározzuk a burkológörbe alakját;
– kiszámítjuk a kis test sebességét a kérdéses pontokban;
– meghatározzuk a cső görbületi sugarát a szóban forgó pontokban;
– és végül felírjuk a test Newton-féle mozgásegyenletét a burkológörbe érintőjére merőleges irányba, amiből megkapjuk a kérdezett nyomóerőt.
1. A burkológörbe meghatározása.
A \(\displaystyle \xi\) paraméterhez tartozó egyenes egyenlete:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{x}{\xi}+\frac{y}{h-\xi}=1.\) |
Tekintsünk egy adott \(\displaystyle (x,y)\) koordinátákkal rendelkező \(\displaystyle P\) pontot, és számítsuk ki, hogy mekkora \(\displaystyle \xi\) érték(ek)hez tartozó egyenes(ek) halad(nak) át ezen a ponton. Az ábrán is látszik, hogy ha \(\displaystyle P\) a sárga tartományba esik, akkor két egyenes halad át rajta, ha \(\displaystyle P\) a kék burkológörbén helyezkedik el, akkor csak egy (a burkolót érintő) egyenes halad át rajta, a fehér tartományba eső pontoknál pedig egyetlen \(\displaystyle \xi\) sem elégíti ki az (1) egyenletet. Fejezzük ki \(\displaystyle \xi\)-t (1)-ből:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \xi^2+(y-x-h)\xi+xh=0.\) |
Ennek a másodfokú egyenletnek akkor van pontosan 1 megoldása, ha az egyenlet diszkriminánsa nulla:
\(\displaystyle (y-x-h)^2-4xh=0,\)
amit így is felírhatunk:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle 2h(x+y)=(y-x)^2+h^2.\) |
Belátjuk, hogy (3) egy olyan parabola egyenlete, amelynek szimmetriatengelye az \(\displaystyle x\) tengellyel \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget zár be.
Az \(\displaystyle (x,y)\) és a hozzá képest \(\displaystyle 45^\circ\)-kal elforgatott \(\displaystyle (X,Y)\) koordináta-rendszerek kapcsolata az 1. ábráról olvasható le:
\(\displaystyle X=\frac{x-y}{\sqrt2}, \qquad Y=\frac{x+y}{\sqrt2}.\)
1. ábra
Ennek megfelelően a burkológörbe egyenlete:
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle Y=\frac{1}{\sqrt2 h}X^2+\frac{h}{2\sqrt2},\) |
ami valóban egy parabolát ír le.
2. A test sebességének meghatározása.
A test kezdősebessége \(\displaystyle v_A=0.\) A \(\displaystyle \xi=h/2\) paraméterhez tartozó \(\displaystyle B\) pont koordinátái: \(\displaystyle x_B=y_B=h/4\), a \(\displaystyle \xi=h\) értéknek megfelelő \(\displaystyle C\) ponté pedig \(\displaystyle x_C=h\) és \(\displaystyle y_C=0\).
Írjuk fel az energiamegmaradás törvényét az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), valamint az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közötti mozgásra:
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle \frac34mgh=\frac{1}{2}mv_B^2,\qquad \text{vagyis}\qquad v_B=\sqrt{\frac32gh},\) |
valamint
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle mgh=\frac{1}{2}mv_C^2,\qquad \text{tehát}\qquad v_C=\sqrt{2gh}.\) |
3. Görbületi sugarak kiszámítása.
Egy síkgörbe simulókörének sugara (vagy ennek reciproka: a görbület) többféleképpen is meghatározható. Felsőbb matematikai módszerekkel (differenciálszámítással) a görbe egyenletéből közvetlenül megkaphatjuk a keresett sugár nagyságát, de elemi úton, fizikai (optikai vagy pontmechanikai) megfontolásokkal is célhoz érhetünk.
Tekintsük a feladatban szereplő elrendezést egy forgásparaboloid alakú tükör síkbeli metszetének (2. ábra).
2. ábra
A tükör \(\displaystyle C\) pontjához érkező, a parabola tengelyével párhuzamos, tehát \(\displaystyle 45^\circ\)-os beesési szögű fénysugár \(\displaystyle 45^\circ\)-os szögben verődik vissza, az \(\displaystyle A\) pont irányába halad. Az optikai tengelyt a \(\displaystyle (h/2, h/2)\) koordinátájú \(\displaystyle F\) pontban éri el, ez a pont tehát a tükör fókuszpontja. A \(\displaystyle BF=f_B\) távolság \(\displaystyle h/2\sqrt{2}\), és – a gömbtükör ismert tulajdonságai miatt – ennek kétszerese a parabola görbületi sugara a \(\displaystyle B\) pontban:
| \(\displaystyle (7)\) | \(\displaystyle R_B=2f_B=\frac{h}{\sqrt2}.\) |
Megjegyzés. A parabola vezéregyenese az optikai tengelyre merőleges, tehát \(\displaystyle AC\)-vel párhuzamos, az origón áthaladó egyenes.
Hasonló megfontolásokkal kapjuk meg a \(\displaystyle C\) ponthoz tartozó görbületi sugár nagyságát is. A \(\displaystyle C\) közelébe érkező párhuzamos sugárnyaláb is az \(\displaystyle F\) pontban fókuszálódik, ilyen sugarakra tehát a fókusztávolság \(\displaystyle f_C=h/\sqrt2\). Egy \(\displaystyle R_C\) sugarú gömbtükörre nem merőlegesen, hanem \(\displaystyle \alpha\) beesési szögben érkező fénysugarakra a leképezési törvény:
\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{2}{R_C\,\cos\alpha}\)
(lásd Kós Géza: Lehet egy közelítéssel kevesebb? c. cikkét a Kömal 2010. évi 3. számának 174-180. oldalán, http://db.komal.hu/KomalHU/). Esetünkben \(\displaystyle 1/t=0\), \(\displaystyle \alpha=45^\circ\) és \(\displaystyle k=f_C=h/\sqrt2\), ahonnan
| \(\displaystyle (8)\) | \(\displaystyle R_C=2h.\) |
(Nyilván ugyanekkora \(\displaystyle R_A\) is, de erre nincs szükségünk.)
A görbületi sugarakat nemcsak optikai megfontolásokkal, hanem a vízszintes hajítás képleteiből is megkaphatjuk. Fordítsuk el (és tükrözzük) az \(\displaystyle (X,Y)\) koordináta-rendszert úgy, hogy az \(\displaystyle Y\) tengely mutasson függőlegesen lefelé (3. ábra).
3. ábra
Tegyük fel a következő kérdést: Mekkora \(\displaystyle v_0\) nagyságú, vízszintes irányú kezdősebességgel kell elhajítanunk egy kicsiny testet, hogy annak pályagörbéje éppen a (4) egyenlettel megadott legyen? Mivel
\(\displaystyle X=v_0t \qquad \text{és}\qquad Y=\frac{h}{2\sqrt2}+\frac{g}2t^2,\)
a pálya egyenlete
\(\displaystyle Y= \frac{h}{2\sqrt2}+\frac{g}{2v_0^2} X^2. \)
Ezt (4)-gyel összevetve leolvashatjuk, hogy
\(\displaystyle v_0^2=\frac{gh}{\sqrt2}.\)
Tudjuk, hogy a test gyorsulása mindenhol \(\displaystyle g\), így a \(\displaystyle B\) pontban is, ami akkor egyezik meg a \(\displaystyle v_0^2/R_B\)-vel, ha \(\displaystyle R_B=h/\sqrt2\), ahogy azt már (7)-ben megkaptuk.
A \(\displaystyle C\) pontban, ahol a pályagörbe meredeksége \(\displaystyle -1\), a hajítás törvényei szerint \(\displaystyle v_C^2=\sqrt{2}gh\), a centripetális gyorsulása tehát
\(\displaystyle \frac{v_C^2}{R_C}=\frac{\sqrt2 gh}{R_C}=g\cos45^\circ=\frac{g}{\sqrt2}.\)
Innen kapjuk, hogy \(\displaystyle R_C=2h,\) összhangban (8)-cal.
4. A nyomóerők meghatározása.
Most, hogy ismerjük a test sebességét és a pálya görbületi sugarát a kritikus pontokban, könnyen kiszámíthatjuk a cső által kifejtett nyomóerőket is. Ha a pálya valamelyik pontjában a görbe normálisa (az érintőjére merőleges irány) \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a vízszintessel, a test sebessége \(\displaystyle v\) és a görbületi sugár \(\displaystyle R\), akkor (lásd a 4. ábrát) a Newton-egyenlet szerint
\(\displaystyle N-mg\cos\alpha=\frac{mv^2}{R},\)
vagyis
\(\displaystyle N=mg\cos\alpha+\frac{mv^2}{R}.\)
4. ábra
\(\displaystyle a)\) Az \(\displaystyle A\) pontnál \(\displaystyle \alpha=90^\circ\) és \(\displaystyle v_A=0\), így \(\displaystyle N_A=0.\)
\(\displaystyle b)\) A \(\displaystyle B\) pontnál \(\displaystyle \alpha=45^\circ\), \(\displaystyle v_B=\sqrt{\tfrac32gh}\) és \(\displaystyle R_B=\tfrac{h}{\sqrt2}\), ennek megfelelően \(\displaystyle N_B=2\sqrt2\,mg\approx 2{,}8\,mg\).
\(\displaystyle c)\) Végül a pálya legalsó, \(\displaystyle C\) pontjánál \(\displaystyle \alpha=0^\circ\), \(\displaystyle v_C=\sqrt{2gh}\) és \(\displaystyle R_C=2h\), így \(\displaystyle N_C=2mg\).
(Látható, hogy a nyomóerők és \(\displaystyle mg\) aránya nem függ \(\displaystyle h\) konkrét értékétől.) A fentebb kiszámított \(\displaystyle N\) erőket a cső fejti ki a lecsúszó testre. A kis test által a csőre kifejtett erők \(\displaystyle N\) ellenerejei.
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bencz Benedek, Csapó András, Csóka Péter, Czirják Márton Pál, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Gyenes Károly, Képes Botond, Kiss 131 Adorján Timon, Tóth Kolos Barnabás. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2023. decemberi fizika feladatai