 |
A P. 5541. feladat (2024. január) |
P. 5541. A \(\displaystyle ^{222}\text{Rn}\) az urán-rádium bomlási sor tagja: \(\displaystyle 3{,}8\,\)napos felezési idővel alfa-bomló izotóp.
\(\displaystyle a)\) Ha az épp átalakuló radonmagot nyugvónak tekintjük, mekkora sebességre tesz szert a leányterméke?
\(\displaystyle b)\) Hány MeV az energiája a bomlás során keletkező alfa-részecskének?
Útmutatás: Az izotóptömegek táblázata megtalálható a következő oldalon: https://www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf
Közli: Kis Tamás, Heves
(4 pont)
A beküldési határidő 2024. február 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Az alfa-bomlás során végbemenő magreakció:
\(\displaystyle ^{222}\mathrm{Rn}\,\rightarrow\,^{218}\mathrm{Po}+\!^{4}\mathrm{He}.\)
A tömeg-energia megmaradásának alapján kiszámíthatjuk a bomlási energiát:
\(\displaystyle m(^{222}\mathrm{Rn})c^2=\left(m(^{218}\mathrm{Po})+m(^{4}\mathrm{He})\right)c^2+E_\textrm{bomlási}.\)
Az izotópok tömegét a megadott táblázatból kikeressük:
\(\displaystyle m(^{222}\mathrm{Rn})=3{,}68669\cdot 10^{-25}\,\mathrm{kg},\)
\(\displaystyle m(^{218}\mathrm{Po})=3{,}62012\cdot 10^{-25}\,\mathrm{kg},\)
\(\displaystyle m(^{4}\mathrm{He})=6{,}64648\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}.\)
A bomlási energia értéke: \(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=9{,}0\cdot10^{-13}\,\mathrm{J}\). A bomlási energia megegyezik a leánytermék és az \(\displaystyle \alpha\)-részecske mozgási energiájának összegével:
\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}=\frac{1}{2}m(^{218}\mathrm{Po})v_\mathrm{Po}^2 + \frac{1}{2}m(^{4}\mathrm{He})v_\mathrm{He}^2.\)
Az átalakulásra érvényes az impulzusmegmaradás törvénye is. Mivel a kiinduló radonatom nyugvónak tekinthető, így a leányelem és az \(\displaystyle \alpha\)-részecske impulzusának nagysága megegyezik:
\(\displaystyle m(^{4}\mathrm{He})v_\mathrm{He}=m(^{218}\mathrm{Po})v_\mathrm{Po}.\)
Az egyenletrendezés után a polónium atommag sebességére az alábbi kifejezés adódik:
\(\displaystyle v_\mathrm{Po}=\sqrt\frac{2E_\textrm{bomlási}m(^{4}\mathrm{He})}{m(^{4}\mathrm{He})m(^{218}\mathrm{Po})+m(^{218}\mathrm{Po})^2}=3{,}0\cdot 10^5\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\)
Az \(\displaystyle \alpha\)-részecske mozgási energiája:
\(\displaystyle E_\textrm{bomlási}-\frac{1}{2}m(^{218}\mathrm{Po})v_\mathrm{Po}^2=8{,}8\cdot 10^{-13}\,\mathrm{J}=5{,}5\,\mathrm{MeV}.\)
Megjegyzés. A polónium atommag és az \(\displaystyle \alpha\)-részecske sebességére is nagyságrenddel kisebb érték jött ki, mint a fénysebesség, így jogos volt a klasszikus impulzus- és mozgási energia formulákat használni a számolás során.
A táblázat a semleges atomok tömegét tartalmazza, viszont a szétrepülő termékek sebességének meghatározásakor elvben a magtömegekkel kellene számolni. A gyakorlatban ezzel mégsem kell törődni: itt is az atomtömegeket használva legfeljebb néhány tízezrelék nagyságú relatív hibát követünk el.
Statisztika:
32 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bélteki Teó, Benes András, Bernhardt Dávid, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Csernyik Péter, Dobos Anita, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Gerendás Roland, Hornok Máté, Kissebesi Máté, Magyar Zsófia, Molnár Kristóf, Sipeki Árpád, Tárnok Ede , Zhang Wenshuo Steve. 3 pontot kapott: Klement Tamás. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2024. januári fizika feladatai