A P. 5543. feladat (2024. január)

P. 5543. Borús időben egy, az égbolt felé fordított fénymérővel méréseket végzünk. Azt tapasztaljuk, hogy a felhőtakaró fényszórása miatt az egységnyi felületre beeső teljesítmény jó közelítéssel \(\displaystyle I_0\) értékű, függetlenül a fénymérő irányítottságától. Egy átlátszatlan, belül kormozott, \(\displaystyle R\) sugarú, vékony falú gömbhéj tetején egy kicsiny \(\displaystyle r\) sugarú lyuk van (melynek mérete sokkal nagyobb a látható fény hullámhosszánál). Adjuk meg a szabadba helyezett gömbhéj belső felületén a megvilágítás intenzitását!

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(6 pont)

A beküldési határidő 2024. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladat szerint a felhős égboltról minden irányból azonos intenzitású szórt fény lép be a lyukon keresztül a gömbbe. Tekintsük a gömb belső felületének egy kicsiny, \(\displaystyle A\) területű darabkáját (\(\displaystyle A\ll\pi r^2\)), amely a lyuk helyzetéhez képest \(\displaystyle 180^\circ-2\alpha\) középponti szöggel (polárszöggel) jellemezhető! A kiszemelt felületdarabkára beeső fény intenzitása arányos azzal a térszöggel (egy gömb felületén mérhető terület és a sugár négyzetének hányadosával), amely alatt a \(\displaystyle \pi r^2\) területű lyuk (és azon keresztül a borús égbolt) a felületdarabka helyéről nézve látszik:

\(\displaystyle I_{\textrm{be}}\sim\frac{\pi r^2\cos\alpha}{(2R\cos\alpha)^2}=\frac{\pi r^2}{4R^2\cos\alpha}\,.\)

Ennyi lenne a felületdarabka megvilágításának intenzitása akkor, ha ez a fény merőlegesen esne be. Az ábra szerint azonban a kiszemelt felületdarab normálisa \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a beeső fény irányával, ezért a megvilágítás intenzitása is gyengébb (hiszen ugyanaz a beeső teljesítmény így nagyobb felületen oszlik el):

\(\displaystyle I_\textrm{megvilágítás}=I_\textrm{be}\cos\alpha\sim\frac{\pi r^2}{4R^2}\,.\)

Azt a meglepő eredményt kaptuk tehát, hogy a gömb belső felületének megvilágítása független az \(\displaystyle \alpha\) szögtől! Ezek szerint a lyukon belépő \(\displaystyle I_0 \pi r^2\) teljesítmény a gömb \(\displaystyle 4\pi R^2\) nagyságú belső felületén egyenletesen oszlik el, így a belső felület megvilágításának intenzitása

\(\displaystyle I_\textrm{megvilágítás}=\frac{I_0\pi r^2}{4\pi R^2}=I_0\frac{r^2}{4R^2}\,.\)

Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Tóthpál-Demeter Márk.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári fizika feladatai