 |
A P. 5547. feladat (2024. február) |
P. 5547. Egy kicsi fagolyót \(\displaystyle 30~\text{cm}\) hosszú fonálra kötünk, és a fonál szabad végét egy vödör fenekén, a középponttól \(\displaystyle 20~\text{cm}\) távolságban rögzítjük. A vödörbe vizet töltünk, és a szimmetriatengelye körül forgatni kezdjük. (A víz mindvégig ellepi a golyót.) Mekkora szögsebességgel kell a vödröt forgatnunk, hogy hosszú idő után a fonál a függőlegessel \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zárjon be?
Quantum Magazine nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. március 18-án LEJÁRT.
Megoldás. A feladat szövege szerint a vödör aljához rögzített fonál a függőlegessel \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be, tehát megfeszül: ebből az következik, hogy a fagolyó sűrűsége kisebb a vízénél (erre következtethetünk az anyagából is). A golyóra a vízben a súlyerőn kívül a felhajtóerő is hat. A felhajtóerő nagysága a kiszorított víz súlyával egyenlő és azzal ellentétes irányú. A két erő eredője így szintén párhuzamos a súlyerővel, de mivel a felhajtóerő a nagyobb, így azzal ellentétes irányú. Ez alapján a fagolyót tartó fonál a forgás következtében a rögzítési ponton és a forgástengelyen átmenő síkban nem kifelé fog dőlni \(\displaystyle 30^\circ\)-kal (mintha levegőben forgatnánk), hanem befelé, így
\(\displaystyle r=(20-30\sin 30^\circ)=5\,\mathrm{cm}\)
távolságra lesz a forgástengelytől.
1. ábra
I. megoldás. A vödörrel együtt forgó vonatkoztatási rendszerben egy \(\displaystyle m\) tömegű, a forgástengelytől \(\displaystyle r\) távolságra lévő testre az \(\displaystyle mg\) nehézségi erőn kívül egy \(\displaystyle m\omega^2r\) nagyságú, a forgástengelyre merőleges, kifelé mutató centrifugális erő is hat. Ebben a rendszerben ennek a két erőnek az eredője a test súlya. Fogalmazhatunk úgy is, hogy a (helyfüggő) nehézségi gyorsulás itt \(\displaystyle \boldsymbol{g}'=\boldsymbol{g}+\omega^2\boldsymbol{r}\).
2. ábra
A bevezető gondolatmenet szerint a golyóra ható súlyerő és felhajtóerő eredője ezzel párhuzamos, de ellentétes irányú. Ezen kívül a forgó rendszerben nyugalomban lévő fagolyóra csak a fonálerő hat, így egyensúly csak akkor lehet ha az eredő súlyerő (és így a \(\displaystyle \boldsymbol{g}'\) nehézségi gyorsulás) párhuzamos a fonállal. Ez alapján
\(\displaystyle \frac{\omega^2r}{g}=\tg30^\circ,\)
és a keresett szögsebesség
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g\tg30^\circ}{r}}=10{,}6\,\mathrm{\frac{1}{s}}.\)
II. megoldás. Inerciarendszerben a fagolyóra az \(\displaystyle m\boldsymbol{g}\) nehézségi erő, a víz által kifejtett \(\displaystyle \boldsymbol{F}_\mathrm{f}\) felhajtóerő és a \(\displaystyle \boldsymbol{K}\) kötélerő hat, ezek eredője tartja körpályán:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle m\boldsymbol{g}+\boldsymbol{F}_\mathrm{f}+\boldsymbol{K}=-m\omega^2\boldsymbol{r}.\) |
Milyen erőt fejt ki a forgó víz a golyóra? Érdemes végiggondolni, mi történik a nyugvó folyadékban. Ha a golyó helyén is folyadék lenne, akkor a körülötte lévő folyadék által kifejtett nyomóerők eredőjének a test helyén lévő folyadék súlyát kellene megtartania. Ezért a folyadékba helyezett testre is ugyanez az erő hat, ebből kapjuk meg, hogy a felhajtóerő nagysága a kiszorított folyadék súlyával egyenlő, és ellentétes irányú.
A forgó folyadékban a folyadék kicsiny, \(\displaystyle m_\mathrm{f}\) tömegű, a forgástengelytől \(\displaystyle r\) távolságra lévő darabja \(\displaystyle \omega^2r\) gyorsulással gyorsul a forgástengely felé. A kis folyadékdarab mozgásegyenlete így:
\(\displaystyle m_\mathrm{f}\boldsymbol{g}+\boldsymbol{F}_\mathrm{f}=-m_\mathrm{f}\omega^2\boldsymbol{r}.\)
Tehát ebben az esetben a körülötte lévő folyadéknak nem csak a folyadék \(\displaystyle m_\mathrm{f}g\) súlyát kell megtartania, hanem egy \(\displaystyle m_\mathrm{f}\omega^2r\) nagyságú, a forgástengely felé mutató vízszintes erőt is ki kell fejtenie. Ha a golyót ennek a kis folyadékdarabnak a helyére rakjuk, akkor arra is ugyanezzel az erővel hat a folyadék:
\(\displaystyle \boldsymbol{F}_\mathrm{f}=-m_\mathrm{f}(\boldsymbol{g}+\omega^2\boldsymbol{r}).\)
Ezt beírva az (1) egyenletbe:
\(\displaystyle m\boldsymbol{g}-m_\mathrm{f}(\boldsymbol{g}+\omega^2\boldsymbol{r})+\boldsymbol{K}=-m\omega^2\boldsymbol{r},\)
amiből:
\(\displaystyle \boldsymbol{K}=(m_\mathrm{f}-m)(\boldsymbol{g}+\omega^2\boldsymbol{r}).\)
A test folyadéknál kisebb sűrűsége miatt \(\displaystyle m_\mathrm{f}-m\) pozitív, tehát a \(\displaystyle \boldsymbol{K}\) kötélerő (és így a kötél is) párhuzamos a \(\displaystyle \boldsymbol{g}+\omega^2\boldsymbol{r}\) vektorral, ahogyan azt az előző megoldásban is láttuk. (A megoldás innen az előző gondolatmenettel adódik.)
Statisztika:
45 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Csapó András, Czirják Márton Pál, Erős Fanni, Hornok Máté, Klement Tamás, Tóth Hanga Katalin, Vágó Botond. 4 pontot kapott: Nguyen Kim Dorka. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 13 versenyző. 0 pontot kapott: 9 versenyző.
A KöMaL 2024. februári fizika feladatai