A P. 5558. feladat (2024. március)

P. 5558. Az ábrán látható háromnegyed kör sugara \(\displaystyle R\), a hiányos négyzet oldalainak hosszúsága \(\displaystyle a\). A zárt vezető körben \(\displaystyle I\) erősségű áram folyik. Határozzuk meg a mágneses indukcióvektor értékét a kör \(\displaystyle O\) középpontjában!

Útmutatás: Egy \(\displaystyle \ell\) oldalhosszúságú, \(\displaystyle I\) árammal átjárt, négyzet alakú vezetőkeret középpontjában a mágneses indukció értéke:

\(\displaystyle B=\frac{2\sqrt{2}\mu_0I}{\pi\ell}. \)

Közli: Kotek László, Pécs

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az eredő \(\displaystyle \boldsymbol{B}\) mágneses indukció a háromnegyed kör \(\displaystyle \boldsymbol{B}_1\) és a hiányos négyzet \(\displaystyle \boldsymbol{B}_2\) járulékának összege. Mindkét vektor az ábra síkjára merőleges és abból kifelé mutat, így az eredő mágneses indukció nagysága: \(\displaystyle B=B_1+B_2\).

A hiányos négyzet azon oldalai, amelyek meghosszabbítása áthalad \(\displaystyle O\)-n, a Biot–Savart-törvény szerint nem járulnak hozzá a mágneses indukció \(\displaystyle O\) pontbeli értékéhez.

Ismert, hogy egy \(\displaystyle R\) sugarú körvezető középpontjában a mágneses indukcióvektor nagysága \(\displaystyle \frac{\mu_0I}{2R}\). Ezek szerint a háromnegyed kör mentén folyó, \(\displaystyle I\) erősségű áram a kör középpontjában \(\displaystyle B_1=\frac{3\mu_0I}{8R}\) nagyságú mágneses indukciót hoz létre.

Tekintsünk egy \(\displaystyle \ell=2a\) oldalélű négyzetet, amely oldalai mentén \(\displaystyle I\) erősségű áram folyik. A mágneses indukcióvektor nagysága a négyzet \(\displaystyle O\) középpontjában \(\displaystyle B_0=\frac{2\sqrt{2}\mu_0I}{2\pi a}\). A feladatunkban szereplő két oldalél a teljes négyzetnek csak az egynegyede, így a járulékuk:

\(\displaystyle B_2=\frac{B_0}{4}=\frac{\sqrt{2}\mu_0I}{4\pi a}.\)

A teljes mágneses indukcióvektor nagysága ezek szerint

\(\displaystyle B=\mu_0I\left(\frac{3}{8R}+ \frac{\sqrt{2}}{4\pi a}\right).\)

Statisztika:

25 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Barna Márton, Bencze Mátyás, Csernyik Péter, Csiszár András, Csóka Péter, Dobos Anita, Fekete Lúcia, Gerendás Roland, Gyenes Károly, Klement Tamás, Pázmándi József Áron, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát.
3 pontot kapott:	Bélteki Teó, Csapó András, Erős Fanni, Gyerő Soma, Kátai Ferdinánd, Masa Barnabás, Molnár Kristóf.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai