A P. 5560. feladat (2024. március)

P. 5560. Egy ismeretlen bolygón működő \(\displaystyle 500~\text{kHz}\)-es középhullámú rádióállomás \(\displaystyle 314~\text{Hz}\) frekvenciájú búgást sugároz AM modulációval. (Ez a frekvencia nyugtató hatással van a bolygón lakó intelligens életformára.) Érzékeny rádióval egy, a bolygótól a fénysebesség 80%-ával távolodó űrhajóban éppen ezt az adást fogják.

\(\displaystyle a)\) Milyen frekvenciára állítsák a rádió vevőjét?

\(\displaystyle b)\) Milyen frekvenciájúnak hallják a búgást az űrhajósok?

Közli: Rakovszky Andorás, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás során az alábbi jelölést használjuk: a bolygón élők vonatkoztatási rendszerében mért mennyiségeket \(\displaystyle b\) indexszel látjuk el. A \(\displaystyle v\) sebességgel haladó űrhajón lévő asztronauták vonatkoztatási rendszerében mért mennyiségeket pedig \(\displaystyle a\) indexszel jelöljük.

Tekintsünk egy \(\displaystyle T_b\) periódusidejű elektromágneses hullámot, melynek periódusidejét az űrhajón \(\displaystyle T_a\)-nak mérik. Célunk kapcsolatot teremteni ezen két mennyiség között. Vizsgáljuk azt a két eseményt, amikor az űrhajón észlelik az elektromágneses hullám két egymás utáni amplitúdó maximumát. Ezen két esemény távolságkülönbsége nulla, időkülönbsége pedig \(\displaystyle T_a\) az űrhajó vonatkoztatási rendszerében. Ugyanezen két esemény időkülönbsége \(\displaystyle t_b\), a távolságkülönbsége pedig \(\displaystyle vt_b\) a bolygó vonatkoztatási rendszerében.

A relativitáselméletben két esemény közti \(\displaystyle \Delta t\) időkülönbségből és \(\displaystyle \Delta x\) távolságkülönbségből képzett \(\displaystyle c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2\) mennyiség invariáns, azaz értéke nem függ a vonatkoztatási rendszer választásától. Az invariánst felhasználva:

\(\displaystyle c^2T_a^2=c^2t_b^2-v^2t_b^2.\)

A bolygóról nézve az elektromágneses hullám \(\displaystyle (c-v)\) relatív sebességgel halad az űrhajó irányába. A két szomszédos amplitúdómaximum közti távolság (azaz a hullámhossz) \(\displaystyle cT_b\), melyet ezzel a relatív sebességgel \(\displaystyle t_b=\frac{cT_b}{c-v}\) idő alatt tesz meg a hullám. Helyettesítsük be ezt a kifejezést az invariánsból kapott összefüggésbe:

\(\displaystyle T_a=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}T_b.\)

Az egyenlet reciprokát képezve a frekvenciák közti kapcsolatot tudjuk felírni:

\(\displaystyle f_a=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}f_b.\)

Ezzel levezettük az ún. relativisztikus Doppler-képletet, melyet nyomtatott vagy online forrásokban is könnyen megtalálhatunk (pl. Budó: Kísérleti fizika III. kötet, 310. old.). A kifejezésben \(\displaystyle v\) az elektromágneses forrás és a megfigyelő relatív sebessége (ez független a koordináta-rendszer választásától). Ha a forrás és a megfigyelő távolodik egymástól, akkor \(\displaystyle v\) pozitív, közeledés esetén pedig \(\displaystyle v\) negatív értékű.

Ugyanazt a relativisztikus Doppler-képletet használhatjuk a feladatban szereplő rádióhullám vivőfrekvenciájára illetve modulációs frekvenciájára is. Így az űrhajósoknak a rádió vevőjét \(\displaystyle \sqrt{\frac{1-0{,}8}{1+0{,}8}}500\,\mathrm{kHz}=167 \,\mathrm{kHz}\)-es frekvenciára kell állítaniuk. A búgást pedig \(\displaystyle \sqrt{\frac{1-0{,}8}{1+0{,}8}}314\,\mathrm{Hz}=105 \,\mathrm{Hz}\) frekvenciájúnak hallják.

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Czirják Márton Pál, Pázmándi József Áron, Tóth Hanga Katalin, Zámbó Luca.
4 pontot kapott:	Csapó András, Erős Fanni, Fajszi Karsa, Gerendás Roland, Klement Tamás, Tóth Kolos Barnabás.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi fizika feladatai