Problem P. 5586. (September 2024)
P. 5586. A glass rod, which has a square cross section, is bent to the shape shown in the figure. A parallel beam of light is incident perpendicular to surface \(\displaystyle A\). What is the least ratio of \(\displaystyle R/d\), if all the light incident on surface \(\displaystyle A\) leaves the glass rod through surface \(\displaystyle B\)? The refractive index of the glass is \(\displaystyle {n=1.5}\).
(4 pont)
Deadline expired on October 15, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Akkor fogja az \(\displaystyle A\) felületre érkező fény teljes egészében a \(\displaystyle B\) felületen elhagyni a meghajlított üvegrudat, ha ,,kanyargása'' közben mindig teljesen visszaverődik a rúd belső felületéről. Az ábra azt mutatja, hogy az A felület jobb szélén belépő fénysugár a kritikus.
A teljes visszaverődés feltétele az, hogy a beesési szög ne legyen kisebb a határszögnél (\(\displaystyle \alpha\geq\alpha_{\mathrm{krit.}}\)):
\(\displaystyle \sin{\alpha}\geq\frac{1}{n},\)
ahol \(\displaystyle n=1{,}5\) az üveg törésmutatója. A félkört érintő sugarak geometriájából adódik, hogy
\(\displaystyle \sin{\alpha}=\frac{R}{R+d}.\)
Határesetben
\(\displaystyle \frac{R}{R+d}=\frac{1}{n},\)
vagyis
\(\displaystyle \left(\frac{R}{d}\right)_\mathrm{min}=\frac{1}{n-1}=\frac{1}{1{,}5-1}=2.\)
Megjegyzés: Egyszerű geometriai megfontolások alapján beláthatjuk, hogy ha az \(\displaystyle R/d\) arány legalább 2, akkor bármely fénysugár esetén, akármelyik további belső visszaverődésekor is teljes visszaverődés történik.
Statistics:
26 students sent a solution. 4 points: Agócs Zoltán, Bélteki Teó, Bús László Teodor, Csiszár András, Domján Noémi Dóra, Elekes Panni, Fekete Lúcia, Kis Boglárka 08, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Kovács Dániel, Ligeti Barnabás, Masa Barnabás, Simon János Dániel, Sütő Áron, Tóth Hanga Katalin, Tóth Kolos Barnabás, Tóth-Tűri Bence, Ujpál Bálint, Vincze Anna. 3 points: Pázmándi József Áron. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, September 2024