Problem P. 5608. (December 2024)
P. 5608. An explosive projectile of mass \(\displaystyle 8~\mathrm{kg}\) is fired at an angle of \(\displaystyle 60^\circ\) with respect to the horizontal, with an initial speed of \(\displaystyle 120~\mathrm{m}/\mathrm{s}\). It explodes at the top of its trajectory into two pieces of masses \(\displaystyle 3~\mathrm{kg}\) and \(\displaystyle 5~\mathrm{kg}\) such that the relative velocities of the two pieces are perpendicular to the plane of the trajectory of the projectile. 80% of the \(\displaystyle 12~\mathrm{kJ}\) energy released in the explosion is used to increase the kinetic energy of the pieces. From the position of the launch
a) how far and
b) at what speed will the two pieces reach the ground?
(Neglect air resistance.)
(4 pont)
Deadline expired on January 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A könnyebb hivatkozás kedvéért jelöljünk ki egy koordináta rendszert a következők szerint: az \(\displaystyle x\) tengely legyen a talaj síkjában és mutasson a lövés irányába, az ugyancsak a talaj síkjában fekvő \(\displaystyle y\) tengely legyen erre merőleges, a \(\displaystyle z\) tengely pedig legyen függőleges. Origónak válasszuk a kilövés helyét! A kilövés pillanatában a lövedék sebesség-komponensei (\(\displaystyle v_0\)-lal jelölve a kezdősebesség nagyságát)
\(\displaystyle v_x=\frac{v_0}{2}=60\,\mathrm{m/s},\qquad v_y=0,\qquad v_z=\frac{\sqrt{3}v_0}{2}=104\,\mathrm{m/s}.\)
A pálya tetőpontján a robbanáskor a darabok \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle z\) irányú sebességének pillanatnyi értéke nem változik, de akkora \(\displaystyle y\) irányú sebességre tesznek szert, hogy a repeszek összes impulzusának változatlansága mellett, a teljes kinetikus energia a robbanás energiájának a megadott hányadával nőjön:
$$\begin{gather*} m_1v_{y{,}1}+m_2v_{y{,}2}=0,\\ \frac{1}{2}m_1v_{y{,}1}^2+\frac{1}{2}m_2v_{y{,}2}^2=E. \end{gather*}$$Itt \(\displaystyle m_1=3\,\mathrm{kg}\) és \(\displaystyle m_2=5\,\mathrm{kg}\) a két lövedékdarab tömege, \(\displaystyle v_{y{,}1}\) és \(\displaystyle v_{y{,}2}\) a két vízszintes, a felszálló pálya síkjára merőleges sebesség, \(\displaystyle E\) pedig a robbanás energiájának 80%-a, azaz \(\displaystyle 9{,}6\,\mathrm{kJ}\). Ennek az egyenletrendszernek a megoldása
\(\displaystyle v_{y{,}1}=\pm\sqrt{\frac{2Em_2}{m_1(m_1+m_2)}}\simeq\pm 63\,\mathrm{m/s},\qquad v_{y{,}2}=\mp\sqrt{\frac{2Em_1}{m_2(m_1+m_2)}}\simeq\mp 38\,\mathrm{m/s}.\)
(Itt az előjelek azt mutatják, hogy a két repesz a felszálló pálya síkjára nézve ellentétes irányban indul, de hogy melyik merre, az nyilván nincs meghatározva.)
Amíg a lövedék felfelé halad, a függőleges sebessége \(\displaystyle v_z\)-ről nullára változik, tehát az emelkedés ideje (\(\displaystyle g=9{,}81\,\mathrm{m/s}^2\) értékkel számolva)
\(\displaystyle t=\frac{v_z}{g}=10{,}6\,\mathrm{s},\)
és nyilván ugyanennyi idő telik el, amíg a darabok a pálya tetejéről a földre érnek. Mivel a lövedék illetve a repeszek \(\displaystyle x\) irányú sebessége az egész mozgás során, a két darab \(\displaystyle y\) irányú sebessége pedig a robbanás után a földetérésig változatlanul \(\displaystyle v_x\), illetve \(\displaystyle v_{y{,}1}\) és \(\displaystyle v_{y{,}2}\), a két lövedékrész a kilövéstől
\(\displaystyle s_1=\sqrt{(2tv_x )^2+(tv_{y{,}1})^2}=1440\,\mathrm{m}\qquad\textrm{és}\qquad s_2=\sqrt{(2tv_x )^2+(tv_{y{,}2})^2}=1330\,\mathrm{m}\)
távolságra csapódik a talajba.
A becsapódó részek sebessége komponensekkel megadva \(\displaystyle (v_x\,,\,v_{y{,}1}\,,\,-v_z)\), illetve \(\displaystyle (v_x\,,\,v_{y{,}2}\,,\,-v_z)\). Ezen vektorok abszolút értéke számszerűleg kifejezve \(\displaystyle v_1=136\,\mathrm{m/s}\) és \(\displaystyle v_2=126\,\mathrm{m/s}\).
Statistics:
42 students sent a solution. 4 points: Agócs Zoltán, Bélteki Teó, Bense Tamás, Blaskovics Ádám, Csipkó Hanga Zoé , Csiszár András, Elekes Panni, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Hajdu Eszter, Hornok Máté, Horvath Benedek, Kiss 131 Adorján Timon, Klement Tamás, Kovács Tamás, Misik Balázs, Molnár Lili, Tóth Hanga Katalin, Ujpál Bálint, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: Éliás Kristóf , Erős Fanni, Masa Barnabás, Papp Emese Petra, Ujvári Sarolta, Vértesi Janka, Vincze Anna, Zámbó Luca. 2 points: 4 students. 1 point: 5 students.
Problems in Physics of KöMaL, December 2024