Problem P. 5610. (December 2024)
P. 5610. The minor planet Eros approaches the Sun at \(\displaystyle 1.13~\mathrm{AU}\) (when it is at the closest point), and it is \(\displaystyle 1.78~\mathrm{AU}\) away from the Sun at the furthest point of its orbit. AU is the abbreviation of astronomical unit, 1 AU is the mean distance between the Sun and the Earth. What is the maximum and minimum speed of the minor planet Eros?
(5 pont)
Deadline expired on January 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A feladat megoldásához Kepler törvényeit kell alkalmaznunk.
1. Az Eros ellipszis pályán kering, az ellipszis adatai pedig a perihélium és az aphélium (a Nap-közeli és Nap-távoli helyzet) \(\displaystyle r_\mathrm{p}\) és \(\displaystyle r_\mathrm{a}\) távolságával kifejezhetők:
$$\begin{gather*} a=\frac{r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p}}{2}=1{,}46\,\mathrm{CSE},\\ c=\frac{r_\mathrm{a}-r_\mathrm{p}}{2}=0{,}325\,\mathrm{CSE},\\ b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{r_\mathrm{a}r_\mathrm{p}}=1{,}42\,\mathrm{CSE}. \end{gather*}$$2. A kisbolygó mindig akkora sebességgel halad, hogy a területi sebesség állandó legyen. A két szélső helyzetben a sebesség pont merőleges a vezérsugárra, tehát a megfelelő \(\displaystyle v_\mathrm{p}\) és \(\displaystyle v_\mathrm{a}\) sebességekre igaz, hogy
\(\displaystyle \frac{r_\mathrm{p}v_\mathrm{p}}{2}=\frac{r_\mathrm{a}v_\mathrm{a}}{2}=\frac{A}{T},\)
ahol \(\displaystyle A\) a pálya ellipszisének a területe:
\(\displaystyle A=ab\pi=\frac{r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p}}{2}\sqrt{r_\mathrm{a}r_\mathrm{p}}\pi,\)
és \(\displaystyle T\) az Eros keringési ideje. Ennek megfelelően
$$\begin{gather*} v_\mathrm{p}=\frac{\pi(r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p})}{T}\sqrt\frac{r_\mathrm{a}}{r_\mathrm{p}},\\ v_\mathrm{a}=\frac{\pi(r_\mathrm{a}+r_\mathrm{p})}{T}\sqrt\frac{r_\mathrm{p}}{r_\mathrm{a}}. \end{gather*}$$3. A Naprendszerben az
\(\displaystyle \frac{a^3}{T^2}=C\)
érték minden bolygóra nézve ugyanakkora. A Föld adatai alapján \(\displaystyle C=1\,\mathrm{CSE^3}/\textrm{év}\mathrm{^2}\), amiből az Eros keringési ideje \(\displaystyle T=1{,}76\,\textrm{év}\). Az adatokat behelyettesítve (\(\displaystyle 1\,\mathrm{CSE}=1{,}496\cdot 10^8\,\mathrm{km}\) és \(\displaystyle 1\,\textrm{év}=365{,}24\cdot 24\cdot 3600=3{,}156\cdot 10^7\,\mathrm{s}\) értékkel számolva):
$$\begin{gather*} v_\mathrm{max}=v_\mathrm{p}=6{,}54\,\mathrm{CSE/év}=31{,}0\,\mathrm{km/s},\\ v_\mathrm{min}=v_\mathrm{a}=4{,}15\,\mathrm{CSE/év}=19{,}7\,\mathrm{km/s}. \end{gather*}$$Statistics:
54 students sent a solution. 5 points: Agócs Zoltán, Beke Márton Csaba, Bencze Mátyás, Bor Noémi, Bús László Teodor, Csiszár András, Éliás Kristóf , Erdélyi Dominik, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Hornok Máté, Kis Boglárka 08, Masa Barnabás, Misik Balázs, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Páternoszter Tamás, Pázmándi József Áron, Pituk Péter, Simon János Dániel, Sütő Áron, Szabó Donát, Szécsi Bence, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Vértesi Janka, Wolf Erik. 4 points: Balázs Barnabás, Bélteki Teó, Elekes Panni, Klement Tamás, Kovács Tamás, Magyar Zsófia, Orbán Jázmin, Sárecz Bence, Tóth-Tűri Bence, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: 4 students. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, December 2024