Problem P. 5619. (January 2025)
P. 5619. A space probe is launched vertically upwards from the Earth's surface at the orbital speed.
a) How high does the probe go?
b) How long will it take to fall back to Earth?
Neglect air resistance and the rotation of the Earth.
Hint: see the article titled Mesterséges égitestek mozgásával kapcsolatos problémák és feladatok on the website (only in Hungarian).
(5 pont)
Deadline expired on February 17, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az \(\displaystyle R\) sugarú Föld felszínéhez viszonylag közeli körpályán keringő \(\displaystyle m\) tömegű űrszonda sebessége (az első kozmikus sebesség)
\(\displaystyle m\frac{v_1^2}{R}=mg\)
mozgásegyenletnek megfelelően
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_1=\sqrt{Rg}.\) |
Az \(\displaystyle M\) tömegű Föld felszínénél a nehézségi gyorsulás:
\(\displaystyle g=\gamma\frac{M}{R^2},\)
ahonnan
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \gamma M=gR^2.\) |
a) Az űrszonda \(\displaystyle H\) emelkedési magassága az energiamegmaradás törvényéből kapható meg:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_1^2-\gamma\frac{Mm}{R}=0-\gamma\frac{Mm}{R+H}.\)
Innen (1) és (2) ismeretében adódik, hogy
\(\displaystyle \frac{Rg}{2}=gR^2\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+H}\right),\)
ahonnan \(\displaystyle H=R\) következik. A szonda tehát földsugárnyi magasságig emelkedik a Föld felszíne fölé.
b) A szonda pályája egy olyan ellipszis feleként fogható fel, aminek fél nagytengelye \(\displaystyle R\), a fél kistengelye (\(\displaystyle \varepsilon)\) pedig sokkal kisebb \(\displaystyle R\)-nél. Egy ilyen ellipszispályán mozgó űrszonda teljes keringési ideje (ha a Földet egy \(\displaystyle M\) tömegű tömegponttal helyettesítenénk) Kepler 3. törvénye szerint ugyanakkora lenne, mint a földközeli körpályán mozgó műholdé:
\(\displaystyle T_\textrm{ellipszis}=\frac{2R\pi}{v_1}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\approx 84\,\mathrm{min}.\)
A feladatban szereplő űrszonda azonban csak az ellipszis felét futja be, mozgásának ideje tehát (Kepler 2. törvénye szerint)
\(\displaystyle T_\textrm{félellipszis}= \frac{\tfrac{1}{2}R\varepsilon\pi+R\varepsilon}{R\varepsilon\pi}T_\textrm{ellipszis}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\right)\cdot 84\,\mathrm{min}\approx 68\,\mathrm{min}.\)
Az utolsó lépésben felhasználtuk, hogy az ,,elfajult ellipszis'' fókuszpontja határesetben a nagytengely végpontjához kerül, a vezérsugár által súrolt terület pedig az ellipszis félterületének és egy \(\displaystyle 2\varepsilon\) alapú, \(\displaystyle R\) magasságú háromszög területének az összege.
Megjegyzés. A b) kérdésre integrálszámítás alkalmazásával is válaszolhatunk. A felfelé emelkedő szonda sebessége a Föld középpontjától \(\displaystyle xR\) távolságban (\(\displaystyle 1\le x\le 2\)) az energiamegmaradás tétele szerint
\(\displaystyle v(x)=\sqrt{Rg\left(2/x-1\right)},\)
és így a felfelé mozgás ideje
\(\displaystyle \frac{1}{2}T_\textrm{félellipszis}=\int_1^2\frac{1}{v(x)}\,\mathrm{d}(Rx)=\sqrt{\frac{R}{g}}\int_1^2\frac{1}{\sqrt{2/x-1}}\,\mathrm{d}x.\)
A Geogebra program szerint
\(\displaystyle \int_1^2\frac{1}{\sqrt{2/x-1}}\,\mathrm{d}x\approx 2{,}57,\)
a WolframAlpha pedig a ,,pontos'' \(\displaystyle 1+\frac{\pi}{2}\) értéket is megadja. Ennek megfelelően \(\displaystyle T_\textrm{félellipszis}\approx 68\,\mathrm{min}\).
Statistics:
36 students sent a solution. 5 points: Beke Márton Csaba, Bencze Mátyás, Benyó Júlia , Bús László Teodor, Csiszár András, Elekes Panni, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Masa Barnabás, Simon János Dániel, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint. 4 points: Kovács Tamás. 3 points: 4 students. 2 points: 10 students. 0 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, January 2025