Problem P. 5630. (February 2025)
P. 5630. A gas mixture contains 7 g nitrogen and 20 g argon. What is the specific heat of the gas mixture at constant volume and constant pressure?
(4 pont)
Deadline expired on March 17, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A gáz két összetevőjére:
A gázkeverék belső energiája, tömege és a mólok száma:
$$\begin{gather*} E=E_\mathrm{N_2}+E_\mathrm{Ar}=\frac{5}{2}n_\mathrm{N_2}RT+\frac{3}{2}n_\mathrm{Ar}RT,\\ m=m_\mathrm{N_2}+m_\mathrm{Ar}=27\,\mathrm{g}=0{,}027\,\mathrm{kg},\\ n=n_\mathrm{N_2}+n_\mathrm{Ar}=0{,}75\,\mathrm{mol}. \end{gather*}$$Izochor folyamat esetén \(\displaystyle W=0\) és így \(\displaystyle Q=\Delta E\), amiből
\(\displaystyle c_V=\frac{Q}{m\Delta T}=\frac{\Delta E}{m\Delta T}=\frac{\left(\frac{5}{2}n_\mathrm{N_2}+\frac{3}{2}n_\mathrm{Ar}\right)R\Delta T}{m\Delta T}=50{,}9\,\mathrm{\frac{mol}{kg}}\cdot R=423\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}.\)
Izobar folyamat esetén \(\displaystyle Q=\Delta E+W\), ahol
\(\displaystyle W=p\Delta V=nR\Delta T=\left(n_\mathrm{N_2}+n_\mathrm{Ar}\right)R\Delta T,\)
és így
\(\displaystyle c_p=\frac{Q}{m\Delta T}=\frac{\Delta E+W}{m\Delta T}=\frac{\left(\frac{7}{2}n_\mathrm{N_2}+\frac{5}{2}n_\mathrm{Ar}\right)R\Delta T}{m\Delta T}=78{,}7\,\mathrm{\frac{mol}{kg}}\cdot R=654\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}.\)
Megjegyzések. 1. \(\displaystyle c_p\)-t úgyis megkaphatjuk \(\displaystyle c_V\)-ből, ha felhasználjuk a
\(\displaystyle c_p-c_V=\frac{R}{M}\)
Robert–Mayer-egyenletet. A gázkeverék átlagos moláris tömege:
\(\displaystyle M_\textrm{átl}=\frac{m}{n}=36\,\mathrm{\frac{g}{mol}}=0{,}036\,\mathrm{\frac{kg}{mol}},\)
amiből
\(\displaystyle c_p=c_V+\frac{R}{M_\textrm{átl}}=\left(50{,}9\,\mathrm{\frac{mol}{kg}}+27{,}8\,\mathrm{\frac{mol}{kg}}\right)\cdot R=423\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}+231\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}=654\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}.\)
2. A fajhőket úgy is megkaphatjuk, ha külön kiszámítjuk a nitrogén és az argon fajhőit, és azokat a tömegekkel súlyozva átlagoljuk:
$$\begin{gather*} c_{V,\mathrm{N_2}}=\frac{5}{2}\frac{R}{M_\mathrm{N_2}}=742\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}},\\ c_{V,\mathrm{Ar}}=\frac{3}{2}\frac{R}{M_\mathrm{Ar}}=312\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}},\\ c_V=\frac{m_\mathrm{N_2}c_{V,\mathrm{N_2}}+m_\mathrm{Ar}c_{V,\mathrm{Ar}}}{m}=423\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}, \end{gather*}$$illetve
$$\begin{gather*} c_{p,\mathrm{N_2}}=\frac{7}{2}\frac{R}{M_\mathrm{N_2}}=1039\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}},\\ c_{p,\mathrm{Ar}}=\frac{5}{2}\frac{R}{M_\mathrm{Ar}}=520\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}},\\ c_p=\frac{m_\mathrm{N_2}c_{p,\mathrm{N_2}}+m_\mathrm{Ar}c_{p,\mathrm{Ar}}}{m}=654\,\mathrm{\frac{J}{kg\,K}}. \end{gather*}$$Statistics:
57 students sent a solution. 4 points: Balázs Barnabás, Bálint Áron, Bélteki Teó, Bense Tamás, Benyó Júlia , Blaskovics Ádám, Csipkó Hanga Zoé , Csiszár András, Elekes Panni, Éliás Kristóf , Erdélyi Dominik, Erős Fanni, Fekete Lúcia, Fercsák Flórián, Földes Márton, Hajdu Eszter, Hasulyó Dorián, Klement Tamás, Kovács Tamás, Masa Barnabás, Misik Balázs, Molnár Lili, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Sárecz Bence, Sütő Áron, Szécsi Bence, Tóth-Tűri Bence, Ujvári Sarolta, Vértesi Janka, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: Bús László Teodor, Hübner Júlia, Orbán Jázmin, Páternoszter Tamás, Pituk Péter, Sipos Márton, Vincze Anna, Wolf Erik, Zámbó Luca. 2 points: 3 students. 1 point: 7 students. 0 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2025