Problem P. 5634. (March 2025)
P. 5634. The coefficient of friction between a drawing board and a book resting on it is \(\displaystyle \mu\). One edge of the drawing board is slowly raised.
a) At which angle of inclination \(\displaystyle \alpha\) will the book begin to slip?
b) What is the acceleration of the sliding book when the angle of inclination of the board is \(\displaystyle 2\alpha\)?
c) What is the minimum horizontal acceleration at which the board with an angle of inclination of \(\displaystyle 2\alpha\) should be pushed in order to prevent the book from sliding?
Consider the coefficients of dynamic and static friction to be equal. Give the results in terms of \(\displaystyle \mu\) and \(\displaystyle g\).
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. A megcsúszás határán a nyomóerő és a súrlódási erő eredője a felület normálisával \(\displaystyle \varepsilon\) szöget zár be, ez a megcsúszás határszöge. Mivel a súrlódási erő nagysága ekkor éppen a nyomóerő nagyságának \(\displaystyle \mu\)-szöröse, és a két erő merőleges egymásra, \(\displaystyle \tg\varepsilon=\mu\).
a) A könyvre a nehézségi erő és a rajztábla felülete által kifejtett kényszererő hat (1. ábra). A két erő csak akkor lehet egyensúlyban, ha irányuk (és nagyságuk) megegyezik. Ez alapján:
\(\displaystyle \alpha=\varepsilon=\arctg\mu.\)
1. ábra
b) A könyvre most is csak a nehézségi erő és a kényszererő hat (amelynek a nagysága természetesen nem egyezik meg az a) részben szereplővel: akkorának kell lennie, hogy a lejtőre (rajztáblára) merőleges komponense kiegyenlítse a nehézségi erő lejtőre merőleges komponensét). Ezek eredőjének a felülettel párhuzamosnak kell lennie: ez az eredő erő hozza létre a könyv keresett lejtőirányú gyorsulását. A 2. ábrán berajzoltuk a könyvre ható erőket és ezek eredőjét is: ez utóbbi végpontját a kényszererő hatásvonala metszi ki a lejtővel párhuzamos egyenesből. Bejelöltünk szögeket, és megrajzoltunk néhány egyenest: látható, hogy az alul keletkező kis háromszög egyenlőszárú, és így a vízszintes szára is \(\displaystyle ma\) hosszúságú. Ezután már az ábráról leolvashatjuk:
\(\displaystyle ma=mg\tg\alpha\qquad\Rightarrow\qquad a=g\tg\alpha=\mu g.\)
2. ábra
c) A mozgást vizsgáljuk a lejtővel együtt gyorsuló vonatkoztatási rendszerben. Legyen a lejtő minimális gyorsulása \(\displaystyle a_0\). Ekkor egy vízszintes, \(\displaystyle ma_0\) nagyságú tehetetlenségi erő hatását is figyelembe kell venni (amely a lejtő gyorsulásával ellentétes irányba mutat). Az erőnek akkorának kell lennie, hogy kiegyenlítse a nehézségi erő és a kényszererő eredőjét. A legkisebb ilyen gyorsulást keressük, ezért a kényszererő most is az eddigi, ,,éppen nem csúszik meg lefele'' határhelyzetben van. A 3. ábrán láthatjuk, hogy a kényszererő hatásvonala kimetszi az \(\displaystyle ma_0\) erő végpontját (és egyben meghatározza \(\displaystyle K_3\) nagyságát is, de arra a feladat megoldásához nincs szükségünk). Az ábráról közvetlenül leolvasható a lejtő keresett legkisebb gyorsulása:
\(\displaystyle ma_0=mg\tg\alpha\qquad\Rightarrow\qquad a_0=g\tg\alpha=\mu g.\)
3. ábra
Megjegyzés. A feladatnak csak akkor van értelme, ha \(\displaystyle 2\alpha<90^\circ\), és így \(\displaystyle \mu<1\).
II. megoldás. a) A könyvre az \(\displaystyle mg\) nehézségi erő, a lejtőre merőleges \(\displaystyle N\) nyomóerő és a lejtővel párhuzamos \(\displaystyle S\) súrlódási erő hat. A könyvre ható erők lejtővel párhuzamos és lejtőre merőleges komponenseinek egyensúlya, valamint a súrlódási erő összefüggése a megcsúszás határesetében:
$$\begin{gather*} mg\cos\alpha=N,\\ mg\sin\alpha=S,\\ S=\mu N. \end{gather*}$$\(\displaystyle S\) kifejezését a harmadik egyenletből a másodikba behelyettesítve, majd az első két egyenletet egymással elosztva:
\(\displaystyle \tg\alpha=\mu\qquad\Rightarrow\qquad\alpha=\arctg\mu.\)
b) A könyvre ismét három erő hat, ezek hatására a lejtővel párhuzamosan gyorsulni fog. Felírva a lejtőre merőleges komponensek egyensúlyát, a lejtővel párhuzamos mozgásegyenletet és a csúszási súrlódás összefüggését:
$$\begin{gather*} mg\cos 2\alpha=N,\\ ma=mg\sin 2\alpha-S,\\ S=\mu N. \end{gather*}$$A harmadik egyenletből \(\displaystyle S\), majd az első egyenletből \(\displaystyle N\) kifejezését beírva a második egyenletbe, és rendezve:
\(\displaystyle a=(\sin 2\alpha-\mu\cos 2\alpha)g.\)
A trigonometrikus kifejezések átalakítása, ahol felhasználjuk a \(\displaystyle \tg\alpha=\mu\) összefüggést is:
$$\begin{gather*} \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\,\sqrt{\frac{\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}}\,\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2\alpha}}=\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}=\frac{2\mu}{1+\mu^2},\\ \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{1}{1+\tg^2\alpha}-\frac{\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}=\frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}=\frac{1-\mu^2}{1+\mu^2}. \end{gather*}$$Ezeket behelyettesítve a keresett gyorsulás:
\(\displaystyle a=\left(\frac{2\mu}{1+\mu^2}-\mu\frac{1-\mu^2}{1+\mu^2}\right)g=\mu g.\)
c) Vizsgáljuk a mozgást a lejtővel együtt gyorsuló koordináta-rendszerben. Legyen a lejtő gyorsulása \(\displaystyle a_0\). Ekkor a könyvre az eddigi három erőn kívül egy vízszintes, \(\displaystyle -ma_0\) nagyságú tehetetlenségi erő hatását is figyelembe kell venni. Az egyensúly feltétele az a) részhez hasonlóan:
$$\begin{gather*} mg\cos 2\alpha+ma_0\sin 2\alpha=N,\\ mg\sin 2\alpha=ma_0\cos 2\alpha+S,\\ S=\mu N. \end{gather*}$$Az egyenletrendszerből \(\displaystyle a_0\)-t kifejezve, majd a b) részből \(\displaystyle \sin 2\alpha\) és \(\displaystyle \cos 2\alpha\) kifejezéseit felhasználva, és egyszerűsítve:
\(\displaystyle a_0=\frac{\sin 2\alpha-\mu\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha+\mu\sin 2\alpha}g=\mu g.\)
Megjegyzések. 1. A feladat megoldható inerciarendszerben is: ilyenkor a három erő a könyvet \(\displaystyle a_0\) gyorsulással gyorsítja vízszintesen (hogy ne mozogjon a lejtőhöz képest). A mozgásegyenletek:
$$\begin{gather*} mg=N\cos 2\alpha+S\sin 2\alpha,\\ ma_0=N\sin 2\alpha-S\cos 2\alpha,\\ S=\mu N, \end{gather*}$$amelyből a minimális gyorsulásra ugyanazt az eredményt kapjuk.
2. A feladat a lejtő legkisebb gyorsulását keresi, de meghatározhatjuk a legnagyobb gyorsulást is, amely esetében a könyv nem csúszik meg. Ekkor a súrlódási erő nagysága szintén maximális, de iránya ellentétes (hiszen azt kell megakadályoznia, hogy a könyv felfelé megcsússzon). Ekkor az egyensúly feltétele (a lejtővel együtt gyorsuló vonatkoztatási rendszerben):
$$\begin{gather*} mg\cos 2\alpha+ma_0'\sin 2\alpha=N,\\ mg\sin 2\alpha+S=ma_0'\cos 2\alpha,\\ S=\mu N, \end{gather*}$$amiből
\(\displaystyle a_0'=\frac{\sin 2\alpha+\mu\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha-\mu\sin 2\alpha}g=\frac{\mu(3-\mu^2)}{1-3\mu^2}g.\)
A képlet \(\displaystyle \mu>\tfrac{1}{\sqrt{3}}\) esetben negatív értéket ad, de ez hibás eredmény, mert a tapadó súrlódás nem tudja elindítani a könyvet – ilyenkor a súrlódási erő nagysága kisebb lesz a maximális értéknél. Ezt el lehetett volna kerülni, ha az egyenletrendszer harmadik egyenlete helyett egyenlőtlenséget írunk: \(\displaystyle 0\leq S\leq\mu N\).
Látható, ha \(\displaystyle \mu\geq\tfrac{1}{\sqrt{3}}\) (azaz \(\displaystyle \alpha\geq 30^\circ\), \(\displaystyle 2\alpha\geq 60^\circ\)), akkor a gyorsulás végtelen nagy lehet, a könyv ,,befeszül'', ,,rátapad'' a lejtőre.
Statistics:
46 students sent a solution. 5 points: Bélteki Teó, Bús László Teodor, Csiszár András, Erdélyi Dominik, Fekete Lúcia, Hajdu Eszter, Hornok Máté, Klement Tamás, Masa Barnabás, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Simon János Dániel, Sütő Áron, Tóth Hanga Katalin, Ujpál Bálint, Ujvári Sarolta. 4 points: Bense Tamás, Blaskovics Ádám, Gyenes Károly, Hübner Júlia, Kis Boglárka 08, Kiss 131 Adorján Timon, Kovács Tamás, Magyar Zsófia, Wolf Erik, Zámbó Luca. 3 points: 12 students. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, March 2025