Problem P. 5643. (April 2025)
P. 5643. A bucket of water of mass \(\displaystyle m\) is pulled up from a water well of depth \(\displaystyle h\), while the rope is wound evenly on the cylinder of mass \(\displaystyle M\). The bucket is released from the top. With what acceleration does the bucket fall? After how long and at what speed does the bucket hit the water? The cylinder has a uniform mass distribution, the bucket full of water can be considered as a point-like body, the mass of the rope can be neglected.
Data: \(\displaystyle m=11\,\mathrm{kg}\), \(\displaystyle M=8\,\mathrm{kg}\), \(\displaystyle h=5\,\mathrm{m}\).
(4 pont)
Deadline expired on May 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás.
A vödör függőleges haladó mozgásának és a henger forgómozgásának mozgásegyenlete, valamint a kényszerfeltétel az ábra alapján:
$$\begin{gather*} ma=mg-K,\\ \Theta\beta=KR,\\ a=R\beta, \end{gather*}$$ahol \(\displaystyle \Theta=\tfrac{1}{2}MR^2\). Rendezve
\(\displaystyle a=\frac{m}{m+\frac{1}{2}M}g=\frac{2m}{2m+M}g\approx 7{,}2\,\mathrm{m/s^2}.\)
A test ezzel a gyorsulással nyugalmi helyzetből indulva \(\displaystyle h\) utat tesz meg, ebből az esés ideje:
\(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2h}{a}}=\sqrt{\frac{(2m+M)h}{mg}}\approx 1{,}2\,\mathrm{s},\)
a becsapódás sebessége pedig:
\(\displaystyle v=at=\sqrt{2ah}=\sqrt{\frac{4mgh}{2m+M}}\approx 8{,}5\,\mathrm{m/s}.\)
A becsapódás sebessége megkapható a mechanikai energia megmaradásából is:
\(\displaystyle mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}\Theta\omega^2,\)
ahol \(\displaystyle \omega\) a henger szögsebessége a becsapódáskor. A kényszerfeltétel alapján \(\displaystyle \omega=\tfrac{v}{R}\). Ezt, valamint \(\displaystyle \Theta\) kifejezését behelyettesítve, és az egyenletet rendezve:
\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{mgh}{\frac{1}{2}\left(m+\frac{1}{2}M\right)}}=\sqrt{\frac{4mgh}{2m+M}}\approx 8{,}5\,\mathrm{m/s},\)
az előző megoldással összhangban.
Statistics:
45 students sent a solution. 4 points: Balázs Barnabás, Bencze Mátyás, Benyó Júlia , Blaskovics Ádám, Bús László Teodor, Csiszár András, Elekes Panni, Fekete Lúcia, Földes Márton, Hajdu Eszter, Hasulyó Dorián, Hübner Júlia, Kis Boglárka 08, Klement Tamás, Ligeti Barnabás, Misik Balázs, Molnár Lili, Papp Emese Petra, Poló Zsófia , Sárecz Bence, Simon János Dániel, Sütő Áron, Szécsi Bence, Tóth Bertalan, Tóth-Tűri Bence, Ujpál Bálint, Varga Zétény, Vértesi Janka, Zámbó Luca. 3 points: Csipkó Hanga Zoé , Hornok Máté, Magyar Levente Árpád, Nagy Gellért Ákos, Sipos Márton, Ujvári Sarolta, Varga 802 Zsolt, Vincze Anna, Wolf Erik, Zádori Gellért. 2 points: 2 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, April 2025