Problem P. 5646. (April 2025)
P. 5646. A space trip to Mars is planned. The spacecraft leaves the Earth and enters into an elliptical orbit that touches both planets' orbits. The spacecraft is at perihelion when it is launched and it is at aphelion when it arrives. The return journey follows a similar elliptical orbit. In both cases, departure requires waiting until the two planets are in the correct position. How long will it take to get there and back, and at least how much time will they spend on Mars? Consider the orbits as circles in the same plane, the orbital period of Mars is 687.0 Earth days.
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás.
Az oda és a visszautazás időtartama egyaránt az űrhajó ellipszispályájához tartozó keringési idő fele. Az ellipszis pálya nagytengelye a két bolygópálya nagytengelyének számtani közepe, az időt pedig Kepler III. törvényéből kaphatjuk meg – ami szerint a bolygók \(\displaystyle T\) keringési idejének négyzete arányos a pályák \(\displaystyle a\) fél-nagytengelyének köbével: \(\displaystyle T=\alpha a^{3/2}\), ahol \(\displaystyle \alpha\) azonos a Nap körül keringő összes égitestre.
\(\displaystyle T_\mathrm{H}=\alpha a_\mathrm{H}^{3/2}=\alpha\left(\frac{1}{2}(R_\mathrm{F}+R_\mathrm{M})\right)^{3/2}=\alpha\left(\frac{1}{2}\left(\alpha^{-2/3}T_\mathrm{F}^{2/3}+\alpha^{-2/3}T_\mathrm{M}^{2/3}\right)\right)^{3/2}=\left(\frac{1}{2}\left(T_\mathrm{F}^{2/3}+T_\mathrm{M}^{2/3}\right)\right)^{3/2}=517{,}7\,\mathrm{nap}.\)
Az oda és a visszaút egyformán feleennyi, azaz 259 napig tart.
A Marson tartózkodás időtartamát jelöljük \(\displaystyle t\)-vel. A teljes űrutazás ideje alatt a Föld
\(\displaystyle \frac{t+T_\mathrm{H}}{T_\mathrm{F}}\)
fordulatot tesz meg a Nap körül (ez nem feltétlen egész szám, a Naphoz húzott vezérsugár ennyiszer 360\(\displaystyle ^\circ\)-ot fordul el). Ezalatt az űrhajósok az űrhajón és a Marson
\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{t}{T_\mathrm{M}}+\frac{1}{2}\)
fordulatot tesznek meg a Nap körül. A két fordulat különbsége egész szám kell legyen, a Föld legalább eggyel több kört tesz meg:
\(\displaystyle \frac{t+T_\mathrm{H}}{T_\mathrm{F}}=1+\frac{t}{T_\mathrm{M}}+k\qquad k=1,2,3\ldots\)
ahonnan
\(\displaystyle t=\frac{T_\mathrm{M}\left((1+k)T_\mathrm{F}-T_\mathrm{H}\right)}{T_\mathrm{M}-T_\mathrm{F}}.\)
Az első alkalom visszaindulásra
\(\displaystyle t_1=\frac{687(2\cdot365{,}25-517{,}7)}{687-365{,}25}=454{,}4\)
nap után adódik, majd pedig \(\displaystyle T_\mathrm{sp}=\frac{T_\mathrm{F}T_\mathrm{M}}{T_\mathrm{M}-T_\mathrm{F}}=780\) naponként (az utóbbi időtartamot szinodikus periódusnak nevezik).
Megjegyzések. 1. A megadott ellipszispályát Hohmann-pályának nevezik Walter Hohmann német mérnök után, aki 1925-ben javasolta, mint rakétaüzemanyag-felhasználás szempontjából leggazdaságosabb bolygóközi pályát.
2. A Föld és a Mars pályájának numerikus excentricitása: 0,0167, illetve 0,0934. A Mars-pálya inklinációja (a pálya síkjának a Föld pályájáéval, vagyis az ekliptikával bezárt szöge): \(\displaystyle 1{,}85^\circ\). Ezeket a végső, pontosabb tervezéskor figyelembe kell venni.
Statistics:
22 students sent a solution. 5 points: Beke Márton Csaba, Csiszár András, Elekes Panni, Klement Tamás, Kovács Tamás, Misik Balázs, Tóthpál-Demeter Márk. 4 points: Bencze Mátyás, Ujpál Bálint, Ujvári Sarolta, Zólomy Csanád Zsolt. 3 points: 8 students. 2 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, April 2025