Problem P. 5653. (May 2025)
P. 5653. Two straight roads cross perpendicularly. On one road a car is approaching the crossroads at a speed of \(\displaystyle 90~\mathrm{km}/\mathrm{h}\), on the other a motorcyclist is approaching it at a speed of \(\displaystyle 72~\mathrm{km}/\mathrm{h}\). At a given (\(\displaystyle t=0\)) instant, the distance between the two vehicles (as the crow flies) is \(\displaystyle 347~\mathrm{m}\). After \(\displaystyle 5\) seconds, their distance decreases to \(\displaystyle 188~\mathrm{m}\).ű
a) How far were the two vehicles from the crossroads initially?
b) What will be the minimum distance between the two vehicles?
For the sake of simplicity, consider both vehicles as point-like objects.
(5 pont)
Deadline expired on June 16, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük az autó pozícióját az időmérés kezdetekor \(\displaystyle x\)-szel, a motorosét \(\displaystyle y\)-nal, a megfelelő sebességeket pedig \(\displaystyle v_x\), illetve \(\displaystyle v_y\)-nal! (\(\displaystyle v_x=25\,\mathrm{m/s}\), \(\displaystyle v_y=20\,\mathrm{m/s}\).) A feltételek szerint
$$\begin{gather*} x^2+y^2=d_0^2=120409\,\mathrm{m^2},\\ (x-v_xt_1)^2+(y-v_yt_1)^2=d_1^2=35344\,\mathrm{m^2}. \end{gather*}$$(Itt \(\displaystyle t_1=5\,\mathrm{s}\).) A két egyenlet különbsége egy lineáris összefüggést ad \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) között, amely \(\displaystyle y\)-ra rendezve
\(\displaystyle y=\frac{D^2-2(v_xt_1)x}{2(v_yt_1)},\)
ahol a rövidebb írásmód kedvéért bevezettük a \(\displaystyle D^2=d_0^2-d_1^2+\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)\,(=110690\,\mathrm{m^2})\) jelölést. Ezt az első egyenletbe helyettesítve a
\(\displaystyle 4\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)x^2-4D^2(v_xt_1)x+D^4-4d_0^2(v_yt_1)^2=0\)
egyenletet kapjuk, amelynek a két megoldása
\(\displaystyle x=\frac{D^2(v_xt_1)\pm(v_yt_1)\sqrt{4d_0^2\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)-D^4}}{2\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)}\quad\Rightarrow\quad x_1=288\,\mathrm{m},\quad x_2=252\,\mathrm{m}.\)
Az \(\displaystyle y\) meghatározására több lehetőségünk is van, de legegyszerűbb a már megkapott lineáris kifejezést használnunk. Behelyettesítés és átrendezés után
\(\displaystyle y=\frac{D^2(v_yt_1)\mp(v_xt_1)\sqrt{4d_0^2\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)-D^4}}{2\left((v_xt_1)^2+(v_yt_1)^2\right)}=\quad\Rightarrow\quad y_1=193\,\mathrm{m},\quad y_2=239\,\mathrm{m}.\)
a) Megoldásként tehát két \(\displaystyle x,y\) párt kaptunk: \(\displaystyle x_1=288\,\mathrm{m}, y_1=193\,\mathrm{m}\), illetve \(\displaystyle x_2=252\,\mathrm{m}, y_2=239\,\mathrm{m}\).
Megjegyzés. A két megoldás léte nem meglepő: a feladat feltételeit megjelenítő első két egyenlet két kör, amelyeknek általában vagy nincs metszéspontjuk, vagy kettő van (az, hogy pont egy közös pont legyen – érintés – igen speciális eset). A két megoldás fizikailag is könnyen értelmezhető. Ha mondjuk az időmérés kezdetekor, amikor a járművek a kereszteződés felé haladnak, a helyzetük az \(\displaystyle x_1,y_1\) megoldással jellemezhető, akkor a járművek egymástól való távolsága még egyszer, a kereszteződéstől távolodva is felveszi a \(\displaystyle d_0\) értéket, és ekkor a kereszteződéstől mért távolságuk éppen \(\displaystyle x_2\) és \(\displaystyle y_2\). Ezt onnan tudjuk, hogy az \(\displaystyle x_2\)-vel és \(\displaystyle y_2\)-vel jellemzett pontok távolsága is \(\displaystyle d_0\), és a járművek egyszerre, a
\(\displaystyle t^\star=\frac{x_1+x_2}{v_x}=\frac{y_1+y_2}{v_y}=\frac{D^2}{\left(v_x^2+v_y^2\right)t_1}=21,6\,\mathrm{s}\)
időpontban érnek ezekbe a pontokba. A folyamat időben fordított irányban is végbemehet, a két eset abban különbözik egymástól, hogy az egyikben a motoros, a másikban az autó megy át hamarabb a kereszteződésen.
b) A személyautó és a motor \(\displaystyle d\) távolságának a négyzetét a \(\displaystyle t\) idő függvényében a
\(\displaystyle d^2=\left(x-v_xt\right)^2+\left(y-v_yt\right)^2=\left(v_x^2+v_y^2\right)t^2-2(xv_x+yv_y)t+(x^2+y^2)\)
másodfokú kifejezés adja meg, amelyben az \(\displaystyle x,y\) értékpárt az \(\displaystyle x_1,y_1\) vagy \(\displaystyle x_2,y_2\) értékpárok egyike adja. Mivel a két eset lényegében egymásnak időben fordított irányú ,,lejátszása'', bármelyiket választjuk, ugyanazt a
\(\displaystyle d^2=\left(v_x^2+v_y^2\right)t^2-\frac{D^2}{t_1}t+d_0^2\)
kifejezést kapjuk. Ez a függvény egy fölfelé nyíló parabola, amely a minimális értékét a csúcsánál veszi fel. Ezt megkereshetjük pl. teljes négyzetté alakítással vagy deriválással, de a megjegyzésben írottak alapján rögtön meg is adhatjuk: a távolság-négyzet értéke \(\displaystyle t=0\)-ban és a \(\displaystyle t=t^\star\) értéknél egyaránt \(\displaystyle d_0^2\), tehát a parabola csúcsa a kettő között középen \(\displaystyle t=t^\star/2\)-nél van. Ezt behelyettesítve
\(\displaystyle d_\mathrm{min}^2=d_0^2-\frac{D^4}{4\left(v_x^2+v_y^2\right)t_1^2}.\)
Ebből \(\displaystyle d_\mathrm{min}=30\,\mathrm{m}\).
Statistics:
35 students sent a solution. 5 points: Blaskovics Ádám, Csipkó Hanga Zoé , Csiszár András, Elekes Panni, Erdélyi Dominik, Fekete Lúcia, Hajdu Eszter, Hasulyó Dorián, Kis Boglárka 08, Klement Tamás, Konkoly Zoltán, Molnár Lili, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Simon János Dániel, Szécsi Bence, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint, Zólomy Csanád Zsolt. 4 points: Beke Márton Csaba, Bús László Teodor, Kovács Tamás, Páternoszter Tamás, Sütő Áron, Ujvári Sarolta, Vértesi Janka. 3 points: 3 students. 2 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, May 2025