Problem P. 5656. (May 2025)

P. 5656. We construct an infinite resistor chain as follows: the resistance of the resistors of the first "step" are \(\displaystyle R\), those of the next are \(\displaystyle 2R\), \(\displaystyle 4R\), \(\displaystyle \ldots\), etc., always twice the value of the previous one (see figure). What is the equivalent resistance of the infinite resistor chain?

(4 pont)

Deadline expired on June 16, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha az első ,,lépcsőt'' elhagynánk, akkor egy ugyanolyan végtelen ellenállásláncot kapnánk, mint az eredeti, csak minden ellenállás értéke az eredeti kétszerese lenne, és így az eredő ellenállása is az eredeti lánc (keresett) \(\displaystyle R_\mathrm{e}\) eredő ellenállásának kétszerese lenne (ábra a) része). Ez alapján az eredeti láncot az ábra b) részén látható módon átrajzolhatjuk.

Ebből az eredő ellenállásra a következő egyenletet kapjuk:

\(\displaystyle R_\mathrm{e}=2R+R\times 2R_\mathrm{e}=2R+\frac{2RR_\mathrm{e}}{R+2R_\mathrm{e}}.\)

(Itt \(\displaystyle \times\) a ,,replusz'' jele: a reciprokok összegének reciproka.) Az egyenletet rendezve:

\(\displaystyle 2R_\mathrm{e}^2-5RR_\mathrm{e}-2R^2=0,\)

amelynek pozitív megoldása:

\(\displaystyle R_\mathrm{e}=\frac{5+\sqrt{41}}{4}R\approx 2{,}85 R.\)

Statistics:

15 students sent a solution.
4 points:	Bélteki Teó, Csipkó Hanga Zoé , Csiszár András, Erdélyi Dominik, Hasulyó Dorián, Sipos Márton, Vértesi Janka, Vincze Anna.
3 points:	Blaskovics Ádám.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2025