Problem P. 5657. (May 2025)

P. 5657. A cylinder contains air at a pressure that is three times that of its surroundings. A hole is opened in the cylinder. We find that the gas in the cylinder cools rapidly, then slowly warms back to its initial temperature.

a) To what temperature does the gas cool from the initial \(\displaystyle 300~\mathrm{K}\)?

b) What percentage of the initial gas in the cylinder is lost during the rapid cooling,

c) and during the slow warming?

Assume that no air can get into the cylinder from outside.

(5 pont)

Deadline expired on June 16, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) A gáz adiabatikusan tágul, nyomása harmadára csökken, eközben lehűl és térfogata megnő – így a gáz egy része távozik a tartályból. Adiabatikus állapotváltozásnál \(\displaystyle T\sim p^\frac{\kappa-1}{\kappa}\), ahol \(\displaystyle \kappa\) a fajhőhányados. A zömében kétatomos molekulákból álló levegő esetében \(\displaystyle \kappa=\tfrac{7}{5}\). Ez alapján a keresett hőmérséklet:

\(\displaystyle T_1=\left(\frac{p_1}{p_0}\right)^\frac{\kappa-1}{\kappa}T_0=\left(\frac{1}{3}\right)^\frac{2}{7}\cdot 300\,\mathrm{K}\approx 219\,\mathrm{K}.\)

b) Eközben \(\displaystyle V\sim p^{-\frac{1}{\kappa}}\), amiből a gáz fajlagos térfogatváltozása:

\(\displaystyle \frac{V_1}{V_0}=\left(\frac{p_1}{p_0}\right)^{-\frac{1}{\kappa}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{5}{7}}\approx 2{,}192.\)

Eszerint a gáz gyors lehűlés közben szabadba távozó hányada:

\(\displaystyle \frac{2{,}192-1}{2{,}192}=0{,}544=54{,}4\%.\)

c) Ezután a gáz bent maradó \(\displaystyle 1-0{,}544=0{,}456\) hányada lassan, izobár körülmények között melegszik vissza az eredeti \(\displaystyle T_0=300\,\mathrm{K}\) hőmérsékletre, és eközben tovább tágul. Ekkor \(\displaystyle V\sim T\), így a gáz fajlagos térfogatváltozása:

\(\displaystyle \frac{V_2}{V_1}=\frac{T_0}{T_1}=1{,}369.\)

Eszerint az eredeti gázmennyiség lassú felmelegedés alatt szabadba távozó hányada

\(\displaystyle \frac{1{,}369-1}{1{,}369}\cdot 0{,}456=0{,}123=12{,}3\%.\)

Ezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, ha észrevesszük, hogy a folyamat végén a gáz térfogata és hőmérséklete megegyezik a kiinduló állapottal, nyomása harmadára csökkent, tehát összesen a mennyiség kétharmadának, \(\displaystyle 66{,}7\%\)-ának kellett távoznia a palackból. Ebből adódik, hogy a felmelegedés alatt kiáramló hányad \(\displaystyle 66{,}7\%-54{,}4\%=12{,}3\%\).

Statistics:

20 students sent a solution.
5 points:	Csiszár András, Erdélyi Dominik, Kovács Tamás, Sütő Áron, Tóth Hanga Katalin, Ujpál Bálint, Varga 802 Zsolt, Wolf Erik.
4 points:	Bélteki Teó, Bor Noémi, Hübner Júlia, Kis Boglárka 08, Pituk Péter, Sipos Márton, Tóthpál-Demeter Márk.
3 points:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2025