Problem P. 5679. (November 2025)
P. 5679. An initially stationary trolley of mass \(\displaystyle M\) can move frictionlessly on the horizontal ground. The top of the trolley is flat and at one of its ends there is a small block of mass \(\displaystyle m=M/2\) (as shown in the figure). The length of the trolley is \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\), and the coefficient of friction between the trolley and the block is \(\displaystyle \mu=0.2\).
a) At what maximum speed of \(\displaystyle v_0\) can we push the small block so that it does not fall off the trolley?
b) What will the speeds of the trolley and the block be at the moment when the block flies off the trolley, if the block is given an initial speed of \(\displaystyle v_1=2v_0\)?
(4 pont)
Deadline expired on December 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. a) Ha végállapotban a hasáb együtt mozog a kiskocsival, akkor rugalmatlan ütközésnek tekinthetjük az esetet, amire a lendületmegmaradás így írható fel:
\(\displaystyle mv_0=(m+M)u\qquad\rightarrow\qquad u=\frac{mv_0}{m+M}.\)
Minél messzebbre jut a hasáb a kiskocsin, annál nagyobb a mechanikai energiaveszteség, ami határesetben \(\displaystyle \Delta E=-\mu mg\ell\) értékű.
\(\displaystyle \Delta E=\frac{1}{2}(m+M)u^2-\frac{1}{2}mv_0^2=-\mu mg\ell\qquad\rightarrow\qquad v_0=\sqrt{\frac{2(m+M)\mu g\ell}{M}}=1{,}2\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\)
Megjegyezzük, hogy ebben a határesetben \(\displaystyle u=0{,}4\,\mathrm{m/s}\), ami azt is jelenti, hogy a kezdeti mechanikai energiának csak a harmada marad meg, kétharmad része hővé válik.
b) Ha \(\displaystyle v_1=2v_0=2{,}4\,\mathrm{m/s}\) sebességgel lökjük meg a hasábot, akkor lerepül a kiskocsiról, sebességét jelöljük \(\displaystyle v_2\)-vel, illetve a kiskocsi sebessége legyen \(\displaystyle u'\). A lendületmegmaradás így írható fel:
\(\displaystyle mv_1=mv_2+Mu'=mv_2+2mu'\qquad\rightarrow\qquad u'=\frac{v_1-v_2}{2}.\)
A mechanikai energia megváltozása a korábbihoz hasonlóan írható:
\(\displaystyle \Delta E=\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}(2m)u'^2-\frac{1}{2}mv_1^2=-\mu mg\ell\qquad\rightarrow\qquad v_2^2+2u'^2-v_1^2=-2\mu g\ell.\)
Ha a legutolsó egyenletbe beírjuk \(\displaystyle u'\) korábbi kifejezését, akkor \(\displaystyle v_2\)-re másodfokú egyenletet kapunk, melynek a pozitív gyöke értelmes számunkra:
\(\displaystyle v_2^2+2\left(\frac{v_1-v_2}{2}\right)^2-v_1^2+2\mu g\ell=0\qquad\rightarrow\qquad v_2=\frac{v_1+2\sqrt{v_1^2-3\mu g\ell}}{3}=2{,}19\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\)
Végül a kiskocsi sebessége:
\(\displaystyle u'=\frac{v_1-v_2}{2}=0{,}11\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\)
Megjegyzések. 1. A feladatot dinamikai és kinematikai egyenletek felírásával is megoldhatjuk.
2. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben a hasáb lerepül a kiskocsiról, akkor a mechanikai energiaveszteség független attól, hogy mekkora sebességgel lökjük meg a hasábot. Ugyancsak azonos a hasábra, illetve a kiskocsira ható súrlódási erő, továbbá a testek gyorsulása sem függ a meglökés sebességétől. Azonban a súrlódási erő okozta erőlökés függ a meglökési sebességtől, mert minél nagyobb az indulási sebesség, annál kisebb lesz az átfutási idő. Ebből az is következik, hogy igen nagy kezdősebességek esetén elhanyagolhatóan kicsi lesz a hasáb sebességváltozása, valamint alig szerez sebességet a kiskocsi. (Még a feladat nem túl nagy kezdősebességéből számított numerikus végeredményei is ezt támasztják alá.)
Statistics:
41 students sent a solution. 4 points: Bense Tamás, Borsics Bendegúz, Bús László Teodor, Csáti Ambrus, Elekes Panni, Fuchs Vince, Gombos Barna, Hajdu Eszter, Halmosi Dávid, Horváth Zsombor, Kádár Luca Linda, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Mi Feiyu, Misik Balázs, Nagy Gellért Ákos, Papp Emese Petra, Szabó Tamás, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia, Tóth Hanga Katalin, Vigh István Csaba, Zádori Gellért, Zhao Aaron (25 students). 3 points: Blaskovics Ádám, Ferencz Kevin, Mezei Marcell, Molnár Lili, Murányi Nimród Máté, Winhoffer Júlia (6 students). 2 points: 5 students. 1 point: 3 students.
Problems in Physics of KöMaL, November 2025