Problem P. 5680. (November 2025)
P. 5680. The angle of elevation of a hillside is \(\displaystyle 30^\circ\), and at the foot of the hill the ground is horizontal. When the hillside was covered with snow everywhere, Peter chose an unusual way of sledding: he started at different initial speeds at a distance of 5 m from the bottom of the slope (see the figure).
a) At what initial speed did the sled stop in the shortest time?
b) How much distance up the hill did the sled cover in this case? The path of the sled coincided with the fall line of the hillside. The hillside and the horizontal ground at the bottom of the hillside form a smooth curve. Friction between the sled and the snow is negligible.
(4 pont)
Deadline expired on December 15, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. a) A szánkó a lejtő aljáig egyenletes sebességgel halad, a lejtőn pedig egyenletesen lassulva mozog a megállásig. A megállásig eltelő idő ennek a két időnek az összege:
\(\displaystyle t=\frac{d}{v}+\frac{v}{a},\)
ahol \(\displaystyle d=5\,\mathrm{m}\) a vízszintes szakasz hossza és \(\displaystyle a=g\sin 30^\circ\approx 5\,\mathrm{m/s^2}\) a szánkó gyorsulásának abszolút értéke.
A kifejezés minimumát a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján határozhatjuk meg:
\(\displaystyle t=\frac{d}{v}+\frac{v}{a}\geq 2\sqrt{\frac{d}{v}\frac{v}{a}}=2\sqrt{\frac{d}{a}}\approx 2\,\mathrm{s}.\)
A kifejezés a minimumát akkor veszi fel, ha
\(\displaystyle \frac{d}{v}=\frac{v}{a},\)
amiből a keresett sebesség:
\(\displaystyle v=\sqrt{ad}\approx 5\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\)
Megjegyzés. A minimumhely megkereshető deriválással vagy a kifejezés grafikonjának ábrázolásával is.
b) A vizsgált esetben a szánkó ugyanannyi ideig mozog a lejtőn, mint a vízszintes szakaszon, de az átlagos sebessége a lejtőn éppen fele akkora, mint a vízszintes talajon. Így a lejtőn fele akkora utat fog megtenni, mint a vízszintes szakaszon:
\(\displaystyle s=\frac{d}{2}=2{,}5\,\mathrm{m}.\)
Megjegyzés. Az út természetesen kiszámolható a gyorsulás, sebesség és időadatok közül bármely kettővel is:
\(\displaystyle s=\frac{v^2}{2a}=\frac{ad}{2a}=\frac{d}{2},\qquad s=\frac{t_\mathrm{min}}{2}\frac{v}{2}=\sqrt{\frac{d}{a}}\frac{\sqrt{ad}}{2}=\frac{d}{2},\qquad s=\frac{a}{2}\left(\frac{t_\mathrm{min}}{2}\right)^2=\frac{a}{2}\frac{d}{a}=\frac{d}{2}.\)
Statistics:
53 students sent a solution. 4 points: Bense Tamás, Blaskovics Ádám, Bogdán Balázs Ákos, Bús László Teodor, Ferencz Kevin, Fuchs Vince, Gilyán Zsombor, Gönczi Botond, Halmosi Dávid, Horváth Péter, Kádár Luca Linda, Kossár Benedek Balázs, Kovács Tamás , Lakatos Levente, Magyar Levente Árpád, Mészáros Máté , Mezei Marcell, Misik Balázs, Molnár Lili, Monori Bence, Papp Emese Petra, Patócs 420 Péter, Rajtik Sándor Barnabás, Simon János Dániel, Tóth Hanga Katalin, Vértesi Janka, Vincze Anna, Winhoffer Júlia, Zádori Gellért, Zólomy Csanád Zsolt (30 students). 3 points: Csáti Ambrus, Hornok Máté, Kirschner Bálint, Kovács Tamás, Mi Feiyu, Murányi Nimród Máté, Sofró Dániel, Szécsi Bence, Tasnádi Zsófia, Toók Panna, Török Tibor, Vigh István Csaba, Zhao Aaron (13 students). 2 points: 2 students. 1 point: 1 student. 0 points: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, November 2025