Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Kedves Versenyzőnk!

A járvány miatt a saját és családtagjaid egészsége érdekében is kérjük, hogy minden megoldásodat az Elektronikus Munkafüzetben küldd be. Postára ne menj. Bizonytalan, hogy javítóink mikor tudják átvenni a papíron küldött megoldásokat, emiatt a postán küldött dolgozatok javítása elhúzódik — beleértve a februári feladatokra érkezett megoldásokat is.

Ha eddig nem tetted, tanuld meg a TeX rendszer használatát, amellyel honlapunkon közvetlenül megszerkesztheted és beküldheted a megoldásodat, vagy pedig használj szöveg- és képletszerkesztőt és a végeredményt — lehetőleg PDF-ben elmentve — töltsd fel.

A rendkívüli helyzetre tekintettel szkennelt vagy fényképezett kézírást is elfogadunk. Ügyelj arra, hogy a kép jól olvasható legyen, és a felbontás ne legyen se túl nagy, se túl alacsony. Ha fényképezel, érdemes több képet készíteni szórt (természetes) fénynél, és a legjobban sikerült képet használni. A képet fordítsd álló helyzetbe, a szélét vágd körbe, hogy csak a megoldás maradjon a képen, végül méretezd át. Egy A4-es lapot kb. 1400x2000 méretű JPEG képként érdemes feltölteni, így a fájl mérete sem lesz 1 megabájtnál nagyobb. Ezután töltsd fel a megoldásod.

Fényképek feldolgozására sokféle képmanipuláló programot és telefonos applikációt használhatsz (GIMP, Google Photo, Snapseed stb.).


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.


K. 644. Egy dobozban kék és zöld kockák vannak, összesen 70 darab. Kiveszünk négyszer annyi kék kockát, mint zöldet, így a dobozban maradt kockák között 7-szer annyi a zöld, mint a kék. Hány kék és hány zöld kocka volt a dobozban eredetileg?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 645. Milyen maradékot kapunk, ha az \(\displaystyle 1+4+7+\ldots+2020\) összeget 8-cal elosztjuk?

(6 pont)

megoldás


K. 646. Van három gépünk, amelyek két-két bemenettel, és egy-egy kimenettel rendelkeznek. A gépek a bemeneteken keresztül megadott számokkal egy meghatározott műveletsort végeznek el, és ennek eredménye jelenik meg a kimeneten. A három gép tehát az ábra szerint néz ki.

Az A gép kimenetén \(\displaystyle x\cdot y\) jelenik meg, a B gép kimenetén \(\displaystyle x^2+y\), a C gép kimenetén pedig \(\displaystyle 5\cdot x+3\cdot y\) (\(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) jelöli az egyik, illetve a másik bemeneten beadott számokat). Összekötjük az A, B és C gépeket olyan módon, hogy az egyik kiválasztott gép egy-egy bemenetére a másik két gép kimenetét kötjük rá. Mennyi lesz az utolsó gépből kijövő lehető legnagyobb eredmény, ha a két első gépbe egyaránt az \(\displaystyle x=4\) és \(\displaystyle y=7\) értékeket tápláljuk be?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 647. Egy papírból készült ikozaédert néhány él mentén felvágunk úgy, hogy széthajtva a test valamelyik (síkban fekvő) hálójához jussunk. Hány élt kell felvágni ehhez?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 648. Egy négyzet belső pontját összekötöttük minden oldalon az egyik oldalharmadoló ponttal az ábra szerint, és így négy négyszöget kaptunk. Ismerjük az egyik ilyen négyszög területét (lásd az ábrát). Határozzuk meg a többi négyszög területét.

(6 pont)

megoldás


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.


C. 1581. Adjuk meg \(\displaystyle n\) azon pozitív egész értékeit, amelyekre \(\displaystyle n!\) pontosan \(\displaystyle 19\,531\) darab \(\displaystyle 0\)-ra végződik.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1582. Az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma oldalaira kifelé az \(\displaystyle ABP\), \(\displaystyle BCQ\), \(\displaystyle CDR\), \(\displaystyle DAS\) szabályos háromszögeket rajzoltuk. Milyen feltételnek kell teljesülnie a paralelogrammára ahhoz, hogy \(\displaystyle PQRS\) négyzet legyen?

(5 pont)

megoldás


C. 1583. Ábrázoljuk a derékszögű koordinátarendszerben azokat a pontokat, melyeknek koordinátái kielégítik az alábbi egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle |x|+|y|+|x+y|\le 2. \)

Mekkora területű síkidomot kaptunk?

(Horvát feladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1584. Legfeljebb mekkora területű négyzetet lehet legfeljebb három egyenes vágással kivágni egy háromszög alakú papírlapból, amelynek oldalai 3 cm, 4 cm és 5 cm hosszúak?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1585. Melyek azok a \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) egymástól különböző pozitív prímszámok, melyekre \(\displaystyle p-4p^2+p^3=q-4q^2+q^3\)?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1586. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalának harmadolópontjai \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\). A \(\displaystyle DE\) szakasz egy tetszőleges belső pontja \(\displaystyle P\). Húzzunk párhuzamost a \(\displaystyle PC\) egyenessel a \(\displaystyle D\), illetve \(\displaystyle E\) pontokon keresztül. Ezek az egyenesek az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) oldalakat rendre a \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontokban metszik.

Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle PRCQ\) négyszög területe az \(\displaystyle APQ\) háromszög területével egyenlő nagyságú.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1587. Oldjuk meg az

\(\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt x}-\frac{\sqrt x}{x-2}=\frac{\sqrt x}{2x-1} \)

egyenletet a valós számok halmazán.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.


B. 5070. Egy szigeten kétféle ember él. Az igazmondók mindig igazat mondanak, a hazudósok mindig hazudnak. Tíz szigetlakó között kiosztottuk az \(\displaystyle 1,2,\ldots,10\) számokat. Mindenki egy-egy különböző számot kapott. Ezután mindenkinek feltették a következő három kérdést: ,,A te számod páros?'', ,,A te számod osztható 4-gyel?'', ,,A te számod osztható 5-tel?''. Az első kérdésre hárman, a másodikra hatan, a harmadikra pedig ketten válaszoltak igennel. Mely számok vannak hazudósoknál?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5071. Legyen az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\) oldalának \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle A_1\), a \(\displaystyle C\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle A_2\), a \(\displaystyle CA\) oldal \(\displaystyle C\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle B_1\), az \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle B_2\), végül az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle C_1\), a \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle C_2\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) és \(\displaystyle B_2C_2A_2\) háromszögek egybevágók és területük az \(\displaystyle ABC\) háromszög területének harmadával egyenlő.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5072. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle \big[\sqrt n+\sqrt{n+3}\,\big]=\big[\sqrt{4n+5}\,\big]\) bármely pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén.

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5073. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körnek a háromszögoldalakkal párhuzamos érintői a háromszögből három kis háromszöget vágnak le, az ezekbe írt körök sugara 2, 3 és 10 egység. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög derékszögű.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5074. Mely pozitív egész \(\displaystyle n\)-ekre és különböző (pozitív) \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle r\) prímszámokra teljesül, hogy

\(\displaystyle \frac1{pq}+\frac1{pr^3}+\frac1{qr^2}=\frac1n ? \)

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5075. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) oldalainak felezőpontja \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle EF\) szakasz az \(\displaystyle AC\) átlót a \(\displaystyle P\) pontban, a \(\displaystyle BD\) átlót \(\displaystyle Q\)-ban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle AEP\) és \(\displaystyle BFQ\) körök az \(\displaystyle AB\) egyenesen metszik egymást.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5076. Oldjuk meg az

$$\begin{align*} x+y+z+v & =0, \\ x^2+y^2+z^2+v^2 & = 12, \\ x^3+y^3+z^3+v^3 & = 24 \end{align*}$$

egyenletrendszert a valós számnégyesek halmazán.

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5077. Egy kocka két iránypontos perspektív képét szeretnénk elkészíteni az ábra szerint. A két iránypont \(\displaystyle I_1=(-9;0)\) és \(\displaystyle I_2=(10;0)\); a kocka három csúcsának képe \(\displaystyle A=(-3;0)\), \(\displaystyle B=(0;0)\) és \(\displaystyle C=(4;0)\). Mekkora legyen az \(\displaystyle F\) pont \(\displaystyle y\)-koordinátája?

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.


A. 767. Egy \(\displaystyle n\times n\)-es táblázat mezői mind különböző színűre vannak színezve. Egy lépés abból áll, hogy kiválasztunk egy sort, abban minden mezőt eggyel jobbra tolunk, a sor jobb szélső mezőjét pedig berakjuk a sor bal szélén lévő mező helyére; vagy kiválasztunk egy oszlopot, abban minden mezőt eggyel lefelé tolunk, és az oszlop legalsó mezőjét berakjuk az oszlop tetején lévő mező helyére. Milyen \(\displaystyle n\) esetén lehet ilyen lépésekkel az \(\displaystyle n^2\) darab mező összes lehetséges elrendezését megkapni?

Javasolta: Schweitzer Ádám

(7 pont)

statisztika


A. 768. Legyen \(\displaystyle S\) egy olyan síkbeli alakzat, melyet néhány (véges sok) egységnégyzet uniójaként állítottunk elő. Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle S\) kerületének és területének az aránya legfeljebb 8.

(7 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)