Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.


C. 1721. Boglárka felírt sorban egymás után \(\displaystyle 2022\) darab számot úgy, hogy a második számot elosztva az elsővel, a hányados éppen a harmadik számmal lett egyenlő, és így tovább, például a hetedik szám egyenlő a hatodik és az ötödik szám hányadosával. Melyik számot írta fel utoljára Boglárka, ha az első a \(\displaystyle 20\), a második pedig a \(\displaystyle 22\) volt?

(5 pont)

megoldás


C. 1722. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszögről tudjuk, hogy a \(\displaystyle AD\) oldal ugyanolyan hosszú, mint a \(\displaystyle DC\) oldal, valamint hogy a \(\displaystyle DAB\) szöget \(\displaystyle \alpha\)-val jelölve \(\displaystyle ABC\sphericalangle=2\alpha\), \(\displaystyle BCD\sphericalangle= 3\alpha\) és \(\displaystyle CDA\sphericalangle=4\alpha\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle AB\) oldal kétszer olyan hosszú, mint az \(\displaystyle AD\) oldal.

(Német versenyfeladat)

(5 pont)

megoldás


C. 1723. Határozzuk meg mindazon, csupa különböző számjegyből álló, legfeljebb négyjegyű \(\displaystyle \overline{abcd}\) számokat (ahol \(\displaystyle a=0\) is megengedett), amelyekre \(\displaystyle 9\cdot\overline{abcd}= \overline{acbcd}\).

Javasolta: Siposs András (Budapest)

(5 pont)

megoldás


C. 1724. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle CAB\sphericalangle=30^{\circ}\). Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei, ha a háromszög \(\displaystyle C\) pontból induló súlyvonala \(\displaystyle 45^{\circ}\)-os szöget zár be az \(\displaystyle AB\) egyenessel?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1725. Legyen \(\displaystyle p\) pozitív prímszám. Tudjuk, hogy az \(\displaystyle x^2-px-580p=0\) egyenlet gyökei egész számok. Határozzuk meg \(\displaystyle p\) értékét.

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1726. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) olyan valós számok, amelyekre

\(\displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1, \quad\text{akkor}\quad \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0. \)

Adjunk meg a feltételt teljesítő valós számokat.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1727. Fúrjunk át egy \(\displaystyle R\) sugarú tömör gömböt egy, a gömb középpontján átmenő egyenes mentén egy \(\displaystyle r\) sugarú hengeres fúróval, ahol \(\displaystyle r<R\). Fejezzük ki a keletkezett maradéktest térfogatát a maradéktest \(\displaystyle m\) magasságának függvényében.

Javasolta: Szabó Bertalan (Miskolc, 1986)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.


B. 5246. 14 ember ül egy asztal körül, mindenki kék vagy sárga pólóban. Legfeljebb hány emberre teljesülhet, hogy a két szomszédja különböző színű pólóban van?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5247. Egy kötél két végpontját a talajhoz rögzítettük úgy, hogy a két végpont távolsága kisebb a kötél hosszánál. A kötél középső pontját 150 cm magasságra felemelve a kötél megfeszül. A kötél egyik végétől 90 cm-re lévő pontját felemelve a kötél 90 cm magasan feszül meg. Milyen hosszú a kötél?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5248. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán:

$$\begin{align*} \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+x+y & =\frac{8}{xy},\\ x(x+1)+y(y+1) & =6. \end{align*}$$

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5249. Jelöljük az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének érintési pontjai által meghatározott háromszög területét \(\displaystyle T_0\)-lal, a hozzáírt körök középpontjai által meghatározott háromszög területét pedig \(\displaystyle T_1\)-gyel. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle T_0\) és \(\displaystyle T_1\) mértani közepe megegyezik az \(\displaystyle ABC\) háromszög területével.

Javasolta: Bártfai Pál

(5 pont)

megoldás


B. 5250. Igazoljuk, hogy minden nemnegatív egész \(\displaystyle n\) számra

\(\displaystyle 2^{2^{n}(n-2)+n+2}\le (2^n)!\le 2^{2^{n}(n-1)+1}. \)

Javasolta: Blahota István (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5251. Vegyük fel azt az \(\displaystyle ABCD\) téglalapot a koordinátarendszerben, amelynek csúcsai \(\displaystyle A(0,0)\), \(\displaystyle B(2022,0)\), \(\displaystyle C(2022,2)\), \(\displaystyle D(0,2)\). Tekintsük azokat az egységnyi területű háromszögeket, amelyek mindhárom csúcsa a téglalap hosszabbik oldalpárjának egy-egy rácspontja. Ezeket a háromszögeket szeretnénk megszínezni úgy, hogy azonos színű háromszögeknek nem lehet közös belső pontjuk. Legalább hány színre van ehhez szükségünk?

Javasolta: Nagy Zoltán Lóránt (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5252. Adott egy hat csúcsú \(\displaystyle ABCA_1B_1C_1\) poliéder, amelynek \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle A_1B_1C_1\) két háromszöglapja, továbbá az \(\displaystyle AA_1\), \(\displaystyle BB_1\) és \(\displaystyle CC_1\) élei párhuzamosak. Az \(\displaystyle AA_1B_1B\), \(\displaystyle BB_1C_1C\) és \(\displaystyle CC_1A_1A\) trapézlapok átlóinak metszéspontjai \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABCPQR\) és \(\displaystyle A_1B_1C_1PQR\) poliéderek térfogata meg­egyezik.

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5253. Igaz-e, hogy ha \(\displaystyle \binom{n}{k}\) páros, akkor az \(\displaystyle n\) elemű \(\displaystyle S\) halmaz \(\displaystyle k\) elemű részhalmazai párokba rendezhetők úgy, hogy az egy párba tartozó részhalmazok szimmetrikus differenciája mindig 2 elemű?

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.


A. 827. Legyen \(\displaystyle n>1\) egész szám. Egy pakliban \(\displaystyle n\)-féle színű és \(\displaystyle n\)-féle értékű kártya van, minden szín és érték párból pontosan egy, azaz összesen \(\displaystyle n^2\) darab. A paklit megkeverjük, és kiosztjuk \(\displaystyle n\) játékos között úgy, hogy mindenki \(\displaystyle n\) darab kártyát kapjon. A játékosok azt akarják megcsinálni, hogy egy általuk választott sorrendben leülnek egy kör alakú asztalhoz, és az első játékostól kezdve sorban leraknak egy-egy lapot, míg végül mindenki lerakta az összes lapját úgy, hogy mindig olyan kártyát kell rakni, amely sem színben, sem értékben nem egyezik meg a közvetlenül előtte lerakott kártyával (az elsőnek lerakott kártya bármi lehet). Mely \(\displaystyle n\)-ekre lehetséges, hogy úgy lett kiosztva a pakli, hogy a játékosok ezt nem tudják megcsinálni? (A játékosok együttműködnek egymással, és látják egymás lapjait.)

Javasolta: Kocsis Anett (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 828. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), hozzáírt körei pedig \(\displaystyle \Omega_A\), \(\displaystyle \Omega_B\) és \(\displaystyle \Omega_C\). Legyen \(\displaystyle \ell_A\) az az egyenes, amely átmegy az \(\displaystyle I\) pontból az \(\displaystyle \Omega_A\) körhöz húzott érintők érintési pontjain. Az \(\displaystyle \ell_B\) és \(\displaystyle \ell_C\) egyenesek hasonlóan vannak definiálva. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle \ell_A\), \(\displaystyle \ell_B\) és \(\displaystyle \ell_C\) egyenesek által meghatározott háromszög magasságpontja megegyezik az \(\displaystyle ABC\) háromszög Nagel-pontjával.

(Ha egy háromszög csúcsait összekötjük a szemközti oldalhoz hozzáírt körök érintési pontjaival, a kapott három szakasz közös pontja a háromszög Nagel-pontja.)

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgaria)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 829. Legyen \(\displaystyle G\) egy \(\displaystyle n\) csúcsú egyszerű gráf, melynek van legalább egy éle, és tekintsük a gráf csúcsainak azon \(\displaystyle S\colon V(G)\to \mathbb{R}^{\ge 0}\) súlyozásait, melyekre \(\displaystyle \sum\limits_{v\in V(G)}S(v)=1\). Legyen továbbá

\(\displaystyle f(G)=\max_S \min_{(v,w)\in E(G)} S(v)S(w), \)

ahol \(\displaystyle S\) végigfut az összes lehetséges súlyozáson.

Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle f(G)=\frac{1}{n^2}\) akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle G\) csúcsai lefedhetők élek és páratlan körök diszjunkt uniójával. (\(\displaystyle V(G)\) a \(\displaystyle G\) gráf csúcsait, \(\displaystyle E(G)\) a \(\displaystyle G\) gráf éleit jelöli.)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)