A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

---

K. 439. Az ábrán látható alakzat minden oldala 10 cm hosszú, minden belső szöge $\displaystyle 30^\circ$, $\displaystyle 60^\circ$, $\displaystyle 150^\circ$, vagy $\displaystyle 300^\circ$. Mekkora a területe?

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 440. Tíz darab szabályos dobókockával dobtunk egyszerre, a dobott számok szorzata 7776 lett. Tudjuk, hogy a dobott számok legnagyobbika csak egyszer fordult elő. Mennyi lehet a dobott számok összege?

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 441. Keressük meg az összes kétjegyű számot, melyben a számjegyek összegéhez a számjegyek szorzatát hozzáadva az eredeti számot kapjuk eredményül.

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 442. Az 1, 3, 120 számokra igaz, hogy bármely két közülük kiválasztott szám szorzatánál eggyel nagyobb szám négyzetszám. Melyik számot vehetjük hozzájuk a 120-nál kisebb pozitív egész számok közül negyedikként, hogy az állítás továbbra is igaz maradjon?

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 443. Az $\displaystyle \overline{ab}_{7} +\overline{cd}_{7} =100_{7}$ hetes számrendszerbeli egyenlőség teljesül. Mennyi lehet $\displaystyle \overline{ab}_{10} +\overline{cd}_{10}$ tízes számrendszerben?

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 444. Melyik az a legnagyobb szám, ami 22-vel, 33-mal és 55-tel osztható, azonban 52-vel, 117-tel és 325-tel nem osztható, és 18404100-nak osztója?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

---

C. 1254. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben a $\displaystyle C$-ből induló magasság $\displaystyle T$ talppontjára teljesül, hogy $\displaystyle AT=3TB$. Jelöljük az $\displaystyle AB$ felezőpontját $\displaystyle F$-fel, továbbá a $\displaystyle CT$ magasság azon pontját $\displaystyle D$-vel, ahonnan az $\displaystyle AB$ derékszög alatt látszik. Igazoljuk, hogy ha az $\displaystyle ABC$ háromszög magasságpontja egybeesik az $\displaystyle FBD$ háromszög súlypontjával, akkor $\displaystyle AD$ felezi a $\displaystyle BAC$ szöget.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1259. Gondoltunk három, legalább kétjegyű egész számra. Tudjuk, hogy az első számnál eggyel nagyobb, a második szám kétszeresénél néggyel nagyobb és a harmadik szám háromszorosánál kilenccel nagyobb számok egyenlők. Legalább mekkora lesz a három gondolt szám szorzata?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1260. Az $\displaystyle ABCD$ egységnégyzet $\displaystyle AB$, $\displaystyle BC$, $\displaystyle CD$, $\displaystyle DA$ oldalainak felezőpontja rendre: $\displaystyle E$, $\displaystyle F$, $\displaystyle I$, $\displaystyle H$. Az $\displaystyle ED$ és $\displaystyle HI$ egyenesek metszéspontja legyen $\displaystyle M$, az $\displaystyle EC$ és $\displaystyle FI$ egyenesek metszéspontja legyen $\displaystyle G$. Mekkora a $\displaystyle MEGI$ négyszög területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1261. Hány olyan pozitív egészekből álló számhármas létezik, amelyek összege 30, és közülük bármely kettő összege nagyobb a harmadik számnál?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1262. Bizonyítsuk be, hogy ha egy húrnégyszög egyben érintőnégyszög is, és az egyik szöge derékszög, akkor szimmetrikus.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1263. Keressük meg a 144-nek azt a legkisebb többszörösét, amely csak 0 és 1 számjegyeket tartalmaz.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1264. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle A$ csúcsából induló belső szögfelező a szemközti oldalt a $\displaystyle P$ pontban, az $\displaystyle AP$ szakasz felezőmerőlegese az $\displaystyle AC$ oldalt a $\displaystyle Q$ pontban metszi. Fejezzük ki az $\displaystyle ABPQ$ négyszög területét az $\displaystyle AB$, $\displaystyle AQ$ szakaszok és a $\displaystyle BAQ$ szög ismeretében.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1265. Határozzuk meg az

$\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x+4$

kifejezés legkisebb értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

---

B. 4669. Közismert, hogy a 777 fejű sárkányoknak minden nyakán 9 vagy 13 fej ül. Két sárkány egyforma, ha ugyanannyi 9 fejű nyakuk van. Hány különböző 777 fejű sárkány van?

Javasolta: Károlyi Gyula (Budajenő)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4670. Az $\displaystyle ABC$ háromszög oldalainak felezőpontjai legyenek $\displaystyle A_1$, $\displaystyle B_1$ és $\displaystyle C_1$. Bocsássunk $\displaystyle A_1$-ből merőlegest az $\displaystyle A$ csúcshoz tartozó szögfelezőre, $\displaystyle B_1$-ből a $\displaystyle B$-hez, $\displaystyle C_1$-ből pedig a $\displaystyle C$-hez tartozóra. A $\displaystyle B_1$-et tartalmazó merőleges és a $\displaystyle C_1$-et tartalmazó merőleges metszéspontja legyen $\displaystyle A_2$, hasonlóan kapjuk a $\displaystyle B_2$, $\displaystyle C_2$ pontokat. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle A_1A_2$, $\displaystyle B_1B_2$, $\displaystyle C_1C_2$ egyenesek egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Sárosdi Zsombor (Veresegyház)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4671. Legyenek $\displaystyle AB_1B_2\ldots B_6$ és $\displaystyle AC_1C_2\ldots C_6$ azonos körüljárású szabályos hétszögek. Mutassuk meg, hogy a $\displaystyle B_1C_1, B_2C_2, \dots, B_6C_6$ egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4672. Határozzuk meg az összes olyan pozitív egész számokon értelmezett, valós értékeket felvevő $\displaystyle f$ függvényt, amelyre tetszőleges $\displaystyle n$ pozitív egész esetén teljesül, hogy

$\displaystyle \frac{p}{f(1)+f(2)+\ldots +f(n)}=\frac{p+1}{f(n)}-\frac{p+1}{f(n+1)},$

ahol $\displaystyle p$ rögzített pozitív szám.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4673. Az $\displaystyle ABCD$ húrnégyszög átlóinak metszéspontja $\displaystyle E$, körülírt körének középpontja $\displaystyle K$. Az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle CD$ oldalegyenesek metszéspontja $\displaystyle F$, a $\displaystyle BC$ és $\displaystyle DA$ oldalegyenesek metszéspontja $\displaystyle G$. A $\displaystyle BFC$ és $\displaystyle CGD$ háromszögek körülírt köreinek második metszéspontja $\displaystyle H$. Igazoljuk, hogy a $\displaystyle K$, $\displaystyle E$ és $\displaystyle H$ pontok egy egyenesen fekszenek.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4674. Az $\displaystyle ABC$ háromszög köré írt körön, a $\displaystyle B$ csúcsot nem tartalmazó $\displaystyle AC$ íven egy $\displaystyle X$ pont mozog. Jelölje rendre $\displaystyle Y$ és $\displaystyle Z$ a $\displaystyle BA$, illetve $\displaystyle BC$ oldal $\displaystyle A$-n, illetve $\displaystyle C$-n túli meghosszabbításán azt a pontot, amelyre $\displaystyle AY=AX$ és $\displaystyle CZ=CX$. Mi az $\displaystyle YZ$ szakasz felezőpontjának mértani helye?

Javasolta: Pozsonyi Enikő (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4675. Melyik a nagyobb:

$\displaystyle \log_{3}4\cdot \log_{3}6 \cdot \log_{3}8\cdot \ldots \cdot \log_{3}2012 \cdot \log_{3}2014$

vagy

$\displaystyle 2\cdot \log_{3}3\cdot \log_{3}5 \cdot \log_{3}7\cdot \ldots \cdot \log_{3} 2011 \cdot \log_{3} 2013?$

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4676. A számegyenesen egy bolha ugrál. A $\displaystyle 0$-ból indul, minden ugrásának hossza 1, és a következő ugrás mindig $\displaystyle p$ valószínűséggel az előzővel egyező, $\displaystyle {1-p}$ valószínűséggel pedig ellentétes irányú. Mennyi annak a valószínűsége, hogy visszajut a 0-ba?

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4677. Igazoljuk, hogy ha az $\displaystyle ABCD$ tetraéder egyenlő oldalú (azaz szemközti élei egyenlő hosszúak), akkor a $\displaystyle D$-ből induló magasságvonal talppontja rajta van az $\displaystyle ABC$ háromszög Euler-egyenesén.

Javasolta: Szabó Csaba (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

---

A. 629. A négyzetrácson megjelöltünk végtelen sok rácspontot úgy, hogy egyetlen körvonalon sincs 2014-nél több a megjelölt pontok közül. Mutassuk meg, hogy biztosan van olyan $\displaystyle 100$ egység átmérőjű körlap (a négyzetrács síkjában), amelynek belsejében nincs egyetlen megjelölt pont sem.

Javasolta: Ágoston Péter, Gyenes Zoltán és Hujter Bálint

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 630. Az $\displaystyle ABCD$ konvex érintőnégyszögbe írt kör középpontja $\displaystyle I$. Az $\displaystyle AB$ és a $\displaystyle DC$ félegyenes az $\displaystyle F$ pontban, az $\displaystyle AD$ és a $\displaystyle BC$ félegyenes a $\displaystyle G$ pontban metszi egymást. Legyen $\displaystyle \mathcal{E}$ az a $\displaystyle F$, $\displaystyle G$ fókuszú ellipszis, amely átmegy a $\displaystyle B$ és $\displaystyle D$ pontokon, és legyen $\displaystyle \mathcal{H}$ az a $\displaystyle F$, $\displaystyle G$ fókuszú hiperbolaág, amely átmegy az $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$ pontokon. Az $\displaystyle \mathcal{E}$ és $\displaystyle \mathcal{H}$ metszéspontjait jelölje $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$. Mutassuk meg, hogy a $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ és $\displaystyle I$ pontok egy egyenesen vannak.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 631. Legyen $\displaystyle k\ge1$, és legyenek $\displaystyle I_1,\ldots,I_k$ a $\displaystyle [0, 1]$ intervallum el nem fajuló részintervallumai. Bizonyítsuk, hogy

$\displaystyle \sum \frac1{|I_i\cup I_j|} \ge k^2,$

ahol az összegzés az olyan $\displaystyle (i, j)$ indexpárokra vonatkozik, ahol $\displaystyle I_i$ és $\displaystyle I_j$ nem diszjunkt.

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2014

(5 pont)

megoldás, statisztika