A KöMaL 2023. márciusi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

---

K. 759. Egy kilencfős társaságról tudjuk, hogy mindenki pontosan négy másik embert ismer a társaság tagjai közül. (Az ismeretség kölcsönös.)

$\displaystyle a)$ Lehetséges-e, hogy a társaság tagjai között bármely két embernek van közös ismerőse?

$\displaystyle b)$ Igaz-e, hogy egy ilyen társaság tagjai között bármely két ember vagy ismeri egymást, vagy van közös ismerősük?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 760. Az $\displaystyle A(2;4)$, $\displaystyle B(6;4)$, $\displaystyle C(4;10)$ háromszöget az $\displaystyle x = a$, majd az $\displaystyle y = 2$ egyenesre tükrözzük.

$\displaystyle a)$ Mennyi a két tükrözés után kapott csúcsok második koordinátáinak összege?

$\displaystyle b)$ Mennyi $\displaystyle a$ értéke, ha a két tükrözés után kapott csúcsok első koordinátáinak összege 36?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 761. Jancsi a 3/5 számlálójához és nevezőjéhez is hozzáírja – vagy elé, vagy mögé – ugyanazt a számjegyet úgy, hogy a számlálóban és a nevezőben is kétjegyű szám szerepeljen. Mekkora a legnagyobb eltérés az így kapható számok között?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

---

K/C. 762. Egy $\displaystyle 5\times5$-ös táblázat huszonöt mezőjét valamilyen sorrendben kiválasztjuk, és egy számot írunk rá. Az aktuálisan választott mezőre azt a számot írjuk, amely megmutatja, hogy annak a mezőnek addig hány olyan oldalszomszédja van már, amelyre írtunk számot.

(Ezt a táblázatot pl. az alábbi sorrendben tölthettük ki: a5, b5, c5, d5, e5, e4, e3, e2, a4, a3, a2, a1, b1, c1, d1, e1, $\displaystyle \ldots\,$.)

Készítsünk még két ilyen kitöltést. Adjuk össze a kitöltésben lévő számokat.

Bizonyítsuk be, hogy akárhogyan töltjük ki a szabálynak megfelelően a táblázatot, a számok összege minden esetben 40 lesz.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 763. Egy egységnyi sugarú félkörbe két olyan, az átmérőre illeszkedő négyzetet írunk, melyeknek van közös oldalszakasza, és egy-egy csúcsuk a körvonalra illeszkedik.

Tudjuk, hogy a kör középpontjából a két négyzet körön lévő csúcsaihoz húzott sugarak egymásra merőlegesek. Igazoljuk, hogy a két, ilyen módon megrajzolt négyzet területének összege állandó.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

---

C. 1758. Ádám az egyik rejtvényújságban talált egy bűvös négyzetet (tehát olyan $\displaystyle 3\times3$-as számnégyzetet, amelyben az egyes sorokban, oszlopokban, illetve a két átlóban található számok összege megegyezik), melyet ki is töltött helyesen, majd találomra kiválasztott egy sort vagy egy oszlopot a táblázatból, és felírta a benne szereplő számokat balról jobbra vagy fentről lefele olvasva. Ezeket a számokat jelölik az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ betűk az így keletkező $\displaystyle ax^2 + bx + c = 0$ egyenletben. Ádám nagy örömmel vette tudomásul, hogy az egyenletnek két valós gyöke is van. Ezek után kiszámolta az egyenlet gyökeinek négyzetösszegét. Milyen számot kaphatott?

Javasolta: Teleki Olivér (Tököl)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1759. Egymás mellé helyeztük az $\displaystyle ABC$ és $\displaystyle EDC$ derékszögű háromszögeket az ábra szerint.

Az $\displaystyle ABC$ háromszögben $\displaystyle BC=3$, $\displaystyle {CA=4}$, az $\displaystyle EDC$ háromszögben $\displaystyle DC=6$, $\displaystyle CE=8$. Az $\displaystyle ABE$ háromszög körülírt köre a $\displaystyle DE$ egyenest másodszor a $\displaystyle P$, a $\displaystyle DB$ egyenest másodszor a $\displaystyle Q$ pontban metszi. Határozzuk meg az $\displaystyle ABDE$ négyszög és az $\displaystyle AEPQB$ ötszög területe arányának pontos értékét.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1760. Adjuk meg az összes olyan pozitív egész számot, amelyhez a faktoriálisát hozzáadva a szám köbét kapjuk.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1761. Egy szabályos háromszöget az egyik oldallal párhuzamos egyenessel elvágunk. Megrajzoljuk a keletkező háromszög és a trapéz köré írható két kört. Lehet-e a trapéz és a háromszög köré írt sugarának aránya $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$?

Javasolta: Tatár Zsuzsanna Mária (Esztergom)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1762. Létezik-e olyan pozitív $\displaystyle p$ prímszám, amelyre teljesül, hogy

$\displaystyle \log_{p-2}(4p-11)=m,$

ha az $\displaystyle m$ paraméter a $\displaystyle 2023$ valamelyik számjegye?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

---

B. 5302. Egy $\displaystyle 8 \times 8$-as táblázat minden mezőjébe $\displaystyle +1$-et vagy $\displaystyle -1$-et írtunk úgy, hogy az összes szám összege 0. Minden sorban és oszlopban kiszámoljuk a számok összegét. Legfeljebb hány pozitív szám lehet ezen 16 összeg között?

Gáspár Merse Előd (Budapest) ötlete nyomán

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5303. Az $\displaystyle ABC$ egyenlő szárú derékszögű háromszögnek $\displaystyle C$-nél van a derékszöge. Vegyünk fel a $\displaystyle BC$ oldal belsejében egy $\displaystyle D$ pontot úgy, hogy a $\displaystyle CDA$ szög $\displaystyle 75^\circ$ legyen. Tegyük fel, hogy az $\displaystyle ADC$ háromszög területe egységnyi. Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle BD = 2$.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5304. $\displaystyle a)$ Vannak-e olyan $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ pozitív egész számok, amelyekre

$\displaystyle a+b \mid a^2+b^2, \quad\text{de}\quad a+b \nmid a^4 + b^4?$

$\displaystyle b)$ Vannak-e olyan $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ pozitív egész számok, amelyekre

$\displaystyle a+b \mid a^4+b^4, \quad\text{de}\quad a+b \nmid a^2+b^2?$

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5305. Legyen az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle BC$ oldalának $\displaystyle B$-hez közelebbi harmadolópontja $\displaystyle A_1$, $\displaystyle C$-hez közelebbi harmadolópontja pedig $\displaystyle A_2$. A $\displaystyle CA$ oldalon hasonlóképpen jelöljük ki a $\displaystyle B_1$ és $\displaystyle B_2$, végül az $\displaystyle AB$ oldalon a $\displaystyle C_1$ és $\displaystyle C_2$ harmadolópontokat. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle ABC$ háromszög súlypontja illeszkedik az $\displaystyle A_1B_1C_1$ és $\displaystyle A_2B_2C_2$ háromszögek körülírt köreinek közös pontjait összekötő egyenesre.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5306. Van egy cinkelt dobókockánk és egy cinkelt érménk, amelynek egyik oldalán egy pötty van, a másik oldalán pedig kettő. Tudjuk, hogy a dobott pöttyök számának várható értéke ugyanannyi a kocka és az érme esetén. Mutassuk meg, hogy egyszerre dobva a kockával és az érmével, annak a valószínűsége, hogy az érmével több pöttyöt dobunk, mint a kockával nagyobb, mint annak a valószínűsége, hogy a kockával dobunk több pöttyöt, mint az érmével.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5307. Egy hegyesszögű háromszög területe $\displaystyle T$, beírt körének sugara $\displaystyle r$, körülírt körének sugara $\displaystyle R$. Mutassuk meg, hogy

$\displaystyle \sqrt{3}\,T \le {(r+R)}^2.$

Javasolta: Simon László Bence (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5308. Jelölje $\displaystyle a_n$ az $\displaystyle n+1,n+2,\ldots,n+10$ pozitív egész számok legkisebb közös többszörösét. Határozzuk meg a legnagyobb olyan $\displaystyle \lambda$ valós számot, melyre $\displaystyle \lambda a_{n}\le a_{n+1}$ mindig teljesül.

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5309. Szerkesszük meg a parabola fókuszpontját és vezéregyenesét, ha adott a tengelye és két pontja.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. április 11-én LEJÁRT.

---

A. 848. Legyen $\displaystyle G$ egy síkgráf, amely egyben páros gráf is. Igaz-e mindig, hogy minden lapjához hozzárendelhetjük egy csúcsát úgy, hogy semelyik két laphoz ne rendeljük ugyanazt a csúcsot?

Javasolta: Matolcsi Dávid (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 849. Az $\displaystyle r$ valós szám esetén jelölje $\displaystyle f(r)$ az $\displaystyle r$ számhoz legközelebbi egész számot (ha $\displaystyle r$ törtrésze $\displaystyle 1/2$, $\displaystyle f(r)$ legyen $\displaystyle r-1/2$). Legyenek $\displaystyle a>b>c$ racionális számok úgy, hogy minden $\displaystyle n$ egészre $\displaystyle f(na)+f(nb)+f(nc)=n$ teljesüljön. Mi lehet $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ értéke?

Javasolta: Damásdi Gábor (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 850. Igazoljuk, hogy létezik egy olyan $\displaystyle N$ pozitív valós szám, melyre tetszőleges $\displaystyle a,b>N$ valós számok esetén az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ hosszúságú oldalakkal rendelkező téglalap kerülete lefedhető egymásba nem nyúló egység sugarú körlapokkal (a körlapok érinthetik egymást).

Javasolta: Váli Benedek (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika