A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

---

K. 819. Kati a táblára felírt $\displaystyle 10$ darab $\displaystyle +1$-et. Egyszerre megváltoztathatja tetszőleges $\displaystyle 5$ számnak az előjelét (nevezzük ezt egy ,,lépés''-nek). Ezt a változtatást az aktuálisan a táblán levő számok közül tetszőlegesen kiválasztott $\displaystyle 5$ számmal akárhányszor megteheti. El tudja-e érni azt, hogy a táblán $\displaystyle 9$ darab $\displaystyle +1$ és $\displaystyle 1$ darab $\displaystyle -1$ szerepeljen? Ha igen, akkor mennyi az ehhez szükséges minimális lépésszám?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 820. A Tóth családban $\displaystyle 6$ gyerek van. A fiúk átlagéletkora $\displaystyle 20$ év, a lányoké $\displaystyle 12$ év, az összes gyereké pedig $\displaystyle 16$ év. Tudjuk továbbá, hogy minden gyereknek van azonos nemű ikertestvére. Hány évesek a gyerekek külön-külön?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 821. Egy $\displaystyle 1~\mathrm{m}$ élhosszúságú, kocka alakú, felül nyitott edény aljába egy henger alakú, felül nyitott edényt helyeztek, és azt a kocka alakú edény aljához rögzítették. A kocka alakú edénybe egy csapból egyenletesen folyik a víz a hengeren kívüli részbe. Azt tapasztaljuk, hogy a vízszint a kocka falán $\displaystyle 10$ percig egyenletesen emelkedik, aztán $\displaystyle 10$ percre megáll az emelkedése, majd amikor ismét elkezd emelkedni, onnan számítva $\displaystyle 20$ perc alatt telik meg teljesen a kocka alakú edény. Mekkora a henger alakú edény alapkörének sugara, és mekkora a magassága?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 822. Kati azt a feladatot kapta, hogy számítsa ki a mellékelt ábrán látható körbe rajzolt ötszög területét. Az oldalak hosszát cm-ben mérve az ábrán jelölték. Kati elvégezte a számításokat, és $\displaystyle {30+10{,}5\sqrt{30}~\mathrm{cm}^2}$ jött ki neki eredményül. Jól szá­molt-e Kati?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 823. Egy konvex $\displaystyle 2024$-szög minden oldalegyenesét az adott oldalegyenesre merőleges irányban $\displaystyle 4$ egységgel eltoljuk kifelé. Így kapunk egy újabb konvex $\displaystyle 2024$-szöget. Mutassuk meg, hogy a kapott konvex $\displaystyle 2024$-szög kerülete legalább $\displaystyle 25$ egységnyivel nagyobb, mint az eredeti sokszögé.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

---

C. 1818. Hány olyan egész számokból álló számötös van, amelyre a

$\displaystyle \textit{k} \cdot \textit{ö}\cdot \textit{m}\cdot \textit{a}\cdot \textit{l}=-130$

egyenlőség teljesül, ha a számok sorrendje is számít?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél, Győr

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1819. Legyen $\displaystyle ABCD$ egységoldalú négyzet, és legyen az $\displaystyle A$ középpontú $\displaystyle AC$ sugarú kör $\displaystyle k$. Legyen $\displaystyle k$-nak az $\displaystyle AB$ félegyenessel $\displaystyle B$-n túl vett metszéspontja $\displaystyle E$, míg az $\displaystyle AD$ félegyenessel $\displaystyle D$-n túl vett metszéspontja $\displaystyle F$. Messe az $\displaystyle EF$ egyenes $\displaystyle BC$-t $\displaystyle G$-ben, és tükrözzük $\displaystyle B$-t $\displaystyle AG$ egyenesre, legyen a tükörkép $\displaystyle H$. Hány egység hosszú a $\displaystyle HE$ szakasz?

Javasolta: Hegedűs Dániel, Gyöngyös

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1820. Bizonyítsuk be, hogy ha $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c>0$ és $\displaystyle a+b+c=1$, akkor

$\displaystyle a)$ $\displaystyle \displaystyle{\frac{1-a^2}{b+c}+\frac{1-b^2}{c+a}+\frac{1-c^2}{a+b}=4}$,

$\displaystyle b)$ $\displaystyle \displaystyle{\frac{1-a^3}{b+c}+\frac{1-b^3}{c+a}+\frac{1-c^3}{a+b}\geq \frac{13}{3}}$.

Javasolta: Bencze Mihály, Brassó

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1821. Gyula és Gil egy szabályos dobókockával játszik. Ha a dobás eredménye összetett szám, akkor Gil kap egy pontot, egyébként pedig Gyula kap egy pontot. Amikor valamelyikük eléri a hat pontot, a játék befejeződik. Mekkora a valószínűsége, hogy valamelyikük javára éppen $\displaystyle 6:3$ lesz a végeredmény?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél, Győr

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1822. Az $\displaystyle ABCD$ konvex négyszög $\displaystyle AC$ és $\displaystyle BD$ átlói az $\displaystyle M$ pontban metszik egymást. Az átlók által létrehozott $\displaystyle ABM$, $\displaystyle BCM$, $\displaystyle CDM$ és $\displaystyle DAM$ háromszögek területének számértékei rendre az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$ pozitív egész számok.

$\displaystyle a)$ Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle a\cdot b\cdot c\cdot d$ négyzetszám.

$\displaystyle b)$ Tegyük fel, hogy az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$ számok között pontosan két, egymástól különböző páratlan prímszám van. Határozzuk meg az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$ számokat úgy, hogy az $\displaystyle ABCD$ négyszög területe a lehető legkisebb négyzetszám legyen.

Javasolta: Bíró Bálint, Eger

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

---

B. 5398. Az $\displaystyle ABCD$ trapézban $\displaystyle AB \parallel CD$ és $\displaystyle ADC \sphericalangle - CBA \sphericalangle = 90^{\circ}$. Igazoljuk, hogy a szárak négyzetének összege egyenlő az alapok különbségének négyzetével.

Javasolta: Oláh Miklós, Szilágykraszna

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5399. Egy ötjegyű négyzetszámnak nincs $\displaystyle 9$-es számjegye. Mindegyik számjegyéhez $\displaystyle 1$-et hozzáadva ismét négyzetszámot kapunk. Melyik lehet ez a négyzetszám?

Javasolta: Kiss Géza, Csömör

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5400. Egy $\displaystyle 3\times3$-as bűvös négyzetben az egyik számot $\displaystyle 1$-gyel megnöveltük. Legalább hány számot kell még megváltoztatnunk ahhoz, hogy ismét bűvös négyzetet kapjunk? (A $\displaystyle 3\times3$-as bűvös négyzet olyan $\displaystyle 3\times 3$-as számtáblázat, amelynek minden sorában, oszlopában és átlójában szereplő három-három szám összege ugyanannyi.)

Javasolta: Juhász Máté

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5401. Legfeljebb mennyi lehet az $\displaystyle mn$ szorzat értéke, ha $\displaystyle m$, $\displaystyle n$ és

$\displaystyle \sqrt{25+\sqrt{n+\sqrt{m}}}+\sqrt{25-\sqrt{n+\sqrt{m}}}$

is pozitív egész számok?

Javasolta: Sztranyák Attila, Budapest

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5402. Egy háromszög oldalainak hosszúsága $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$. Tegyük fel, hogy fennáll

$\displaystyle a^2+b^2+c^2 = a^2b^2c^2.$

Bizonyítandó, hogy a háromszög területe legfeljebb $\displaystyle \frac34$, és egyenlőség csak az egyenlő oldalú háromszög esetében lehetséges.

Javasolta: Hujter Mihály, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5403. Tegyük fel, hogy egy egyszerű, összefüggő $\displaystyle k$-reguláris ($\displaystyle k \ge 2$) $\displaystyle G$ gráf éleit ki lehet színezni $\displaystyle k$ színnel úgy, hogy minden csúcsban csupa különböző színű él találkozzon. Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle G$ bármelyik élét törölve a kapott gráf is összefüggő.

Javasolta: Hujter Bálint, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5404. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszög magasságainak talppontjai $\displaystyle T_A$, $\displaystyle T_B$, $\displaystyle T_C$, továbbá a $\displaystyle BC$, $\displaystyle CA$, $\displaystyle AB$ oldalak felezőpontjai rendre $\displaystyle F_A$, $\displaystyle F_B$ és $\displaystyle F_C$. Jelölje $\displaystyle r$ a beírt kör sugarát. Legyen $\displaystyle P_A$ az $\displaystyle AT_A$ szakasz azon pontja, amelyre $\displaystyle AP_A = r$. Hasonló módon kapjuk a $\displaystyle P_B$ és $\displaystyle P_C$ pontokat. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle F_AP_A$, $\displaystyle F_BP_B$, $\displaystyle F_CP_C$ szakaszok egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Kiss Géza, Csömör

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5405. Az $\displaystyle a_1$, $\displaystyle a_2$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle a_n$ és $\displaystyle b_1$, $\displaystyle b_2$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle b_n$ pozitív egész számokra teljesül, hogy bármely $\displaystyle i<j\leq n$ indexekre $\displaystyle b_i$ és $\displaystyle b_j$ legnagyobb közös osztója nem osztója $\displaystyle (a_i-a_j)$-nek. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac1{b_i} \leq 1$.

Javasolta: Varga Boldizsár, Budapest

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

---

A. 884. Egy $\displaystyle n\times n$-es táblázatot kitöltünk valós számokkal úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban 1 legyen a számok összege. $\displaystyle K$ mely értékeire igaz a következő állítás: ha a táblázatban szereplő negatív számok abszolút értékeinek összege legfeljebb $\displaystyle K$, akkor biztosan ki lehet választani $\displaystyle n$ pozitív számot a táblázatból úgy, hogy minden sorból és minden oszlopból pontosan egy számot válasszunk.

Javasolta: Bencsik Dávid, Budapest

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 885. Legyen adva egy hegyesszögű nem egyenlőszárú $\displaystyle ABC$ háromszög. Legyen $\displaystyle BE$ és $\displaystyle CF$ a háromszög két magassága, $\displaystyle D$ pedig jelölje a háromszög beírt körének érintési pontját a $\displaystyle BC$ oldalon. A $\displaystyle BDE$ háromszög körülírt köre messe az $\displaystyle AB$ egyenest másodszor a $\displaystyle K$ pontban, a $\displaystyle CDF$ háromszög körülírt köre messe az $\displaystyle AC$ egyenest másodszor az $\displaystyle L$ pontban. A $\displaystyle BDE$ és a $\displaystyle CDF$ háromszögek körülírt körei a $\displaystyle KL$ egyenest másodszor rendre az $\displaystyle X$ és az $\displaystyle Y$ pontban metszik. Bizonyítandó, hogy a $\displaystyle DXY$ háromszög beírt körének középpontja az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körére esik.

Javasolta: Luu Dong, Vietnam

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 886. Adottak a $\displaystyle k$ és $\displaystyle n$ 1-nél nagyobb különbözô pozitív egész számok, továbbá véges sok (nem feltétlenül különböző) egész szám felírva a táblára. Kázmér egy lépésben letörölheti egy $\displaystyle k$-val nem osztható differenciájú számtani sorozat $\displaystyle k$ egymást követő elemét, míg Nándor letörölheti egy $\displaystyle n$-nel nem osztható differenciájú számtani sorozat $\displaystyle n$ egymást követő elemét. Tudjuk, hogy a kiindulási számok olyanok, hogy Kázmér és Nándor is le tudja törölni az összes számot véges sok lépésben (külön-külön). Bizonyítsuk be, hogy ekkor a táblán szereplő legnagyobb és legkisebb szám különbsége legalább $\displaystyle \varphi(n)+\varphi(k)$, ahol $\displaystyle \varphi$ az Euler-féle fí-függvényt jelöli, vagyis $\displaystyle \varphi(n)$ az $\displaystyle n$-nél nem nagyobb, $\displaystyle n$-hez relatív prím pozitív egészek száma.

Javasolta: Varga Boldizsár, Budapest

(7 pont)

megoldás, statisztika