[118] DS | 2004-04-23 14:53:57 |
Géza bátorított, hogy írjam le a megoldásomat a 22-es feladatra. (A 20-as is megy ennek mintájára.) Legyen az IH egyenes ideális pontja X, a BC oldalhoz írt kör középpontja O. Elég azt megmutatnunk, hogy (IHGX)=-1. Áttérve egyenesekre (OI, OH, OG, OX)=-1 kéne. Nekem kényelmesebbnek tűnt a rájuk merőleges egyenesekkel dolgozni: ezek C és B szögfelezői, a BC oldal és az AG egyenes. Ezek ugyan nem mennek át egy ponton de az egymással bezárt szögek sinusainak arányát így is felírhatjuk. Ez az első három egyenesnél sin tétellel KB:KC, a másik szükséges arány pedig KT:KS. (K a beírt kör középpontja, AD a C és B szögfelezőit T-ben és S-ben metszi.) Az maradt, hogy KB:KC=-KS:KT, ami pedig igaz, hiszen KB:KS=(c-b):a, illetve KC:KT=(b-c):a. Az utóbbi arányokat kiszámolhatjuk pl súlyozgatással, ugyanis a szögfelezők és AD is egyaránt jól ismert arányban metszik a szemközti oldalakat. Remélem Géza megörvendeztet bennünket egy elegánsabb gondolatmenettel.
|
|
[117] BohnerGéza | 2004-04-23 11:11:32 |
Elég hosszú minden húrnégyszög?
A következő feladat ötlete Csimby ujjgyakorlatok [135]-ben megjelent 42. feladatából adódott. Megoldásával még nem foglalkoztam.
26. feladat: Nevezzük elég hosszúnak a húrnégyszöget, ha szemközti oldalaival párhuzamosan húzott egy-egy vonallal három húrnégyszögre bontható. A kérdés: Elég hosszú minden húrnégyszög? Azaz valamelyik irányban fölbontható?
Az ábrán lévő igen.
|
|
|
|
[115] BohnerGéza | 2004-04-20 20:44:31 |
A 23. és 24. feladathoz hasonló, kicsit nehezebb feladat:
25. feladat: Szerkesztendő háromszög, ha adott egy oldala, a vele szemközti szög és az ehhez tartozó szögfelező. (a szögfelezőnek a háromszögbe eső darabja)
A 20. és 22. feladat egyikének megoldását, ha addig másvalaki nem teszi, kb. a hónap végén közlöm.
|
|
|
[113] BohnerGéza | 2004-04-16 14:13:22 |
Kedves László!
Köszönöm a rajzokra vonatkozó tanácsokat!
Kicsit reméltem, hogy a [107]-es hozzászóllásom tovább érvényben marad, hogy az Euklides-szel többen foglalkozzanak. Adok viszont egy nehezebb feladatot:
24. feladat: ABC háromszög beírt körének kp-ja O. Szerkesztendő a háromszög, ha adott c, gamma és OC.
|
Előzmény: [111] lorantfy, 2004-04-14 00:44:49 |
|
[112] Csimby | 2004-04-14 01:19:36 |
Van két új geometria példa az újgyakorlatoknál amit eredetileg ide szántak ;-)
|
|
[111] lorantfy | 2004-04-14 00:44:49 |
Kedves Géza!
Igaz a sejtésed, ugyanis:
Az O pont az AB fölé emelt látóköríven van.
Ennek a látókörívnek a K középpontjából AB szakasz szögben látszik. Tehát a látókörív középpontja valóban a köré írt körön van.
A szerkesztés akkor történhet úgy, hogy felvesszük a körülírt kört és abba az AB oldalt, mint húrt. Ennek felező merőlegese kimetszi a körből a K1, K2 pontokat. Ezekből, mint középpontokból megrajzolhatjuk az AB fölé emelt látókörívek körbe eső íveit. Ezekből az AB-től r távolságban futó párhuzamosok kimetszik a a beírt kör középpontját.
BAO -t megduplázva, a szögszár kimetszi C-t a körből.
|
|
Előzmény: [108] BohnerGéza, 2004-04-13 21:49:21 |
|
[110] Pach Péter Pál | 2004-04-14 00:34:02 |
23. feladat megoldásának vázlata
Adottak r,R,a. Az ismert d2=R2-2Rr-ből megvan d is, ami a két kör középpontjának távolsága, d szerkeszthető is. :-) Rajzolunk két kört R, illetve r sugárral úgy, hogy középpontjaik távolsága d. R és a segítségével megkapjuk -t (ez az eddigiektől független lépés), azoknak a pontoknak a helye, amelyekből a beírt kör szög alatt látszik, egy olyan kör, amely a beírt körrel koncentrikus, és a sugara egyszerűen megkapható. (Megszerkesztjük egy pontját, ez is megy körzővel…) A kapott körnek és a köréírt körnek a metszéspontja A, érintőket húzunk a beírt körhöz, ezek A-tól különböző metszéspontja a köré írt körrel B és C, valamilyen sorrendben. Ha van ilyen ABC háromszög, akkor azt megkaptuk.
Diszkusszió…
|
Előzmény: [106] Gubbubu, 2004-04-13 10:13:43 |
|
[109] lorantfy | 2004-04-13 23:29:47 |
Kedves Géza és Fórumosok!
Én az Euklides programból a következőképpen nyerem ki a színes ábrát:
1.Az Euklidesben megszerkesztett képet beállítom szépen középre, fehér háttérrel és a Print Screen gombbal a vágólapra másolom.
2.A Pain rajzoló programban Beillesztés, majd kijelölöm az ábra megfelelő részét és átmásolom egy új lapra.
3.Az ábra külső méretét a lehető legkisebbre veszem. Itt még a feliratokat és a betűzést is lehet pontosítani, pl. görög betűt a szögeknek stb. Majd elmentem „gif” formátumban.
4.Ezt az ábrát már fel lehet tölteni a Fórumba.
Annyit szoktam még csinálni az ábrával, hogy még bitmap (bmp) formában megnyitom az MS. Photo Editorral és átlátszó hátteret adok neki, majd ezután mentem „gif” formátumban. Igy az ábrát feltöltve az alapszinen (sárga) jelenik meg.
Aki tud egyszerűbbet írja be!
|
Előzmény: [108] BohnerGéza, 2004-04-13 21:49:21 |
|
|
[107] BohnerGéza | 2004-04-13 21:27:32 |
A 23. feladathoz: Csak pár percem volt, csak az Euklides-szel (szerkesztőprogram, letölthető az euklides.hu-ról) néztem meg. Megadtam az A és B pontot, a körülírt kört. majd „nyomvonal” segítségével kirajzoltattam az ABC beírt körének kp-jának helyeit, ha a C végigfut a körön. Úgy tűnik, hogy a körülírt körben lévö két olyan ívet kaptam, melyek a körülírt körön lévő kp-ú körök ívei. A rajz remélem segít, bár sajnos a terjedelmi korlát miatt nem túl jó. Sőt most valamiért nem is sikerül a feltöltése. (Szívessen venném, ha valaki segítene, hogy lehet jobb ábrát felrakni!)
Ha igaz a fenti sejtés, akkor az alapján a szerkesztés megy. Bizonyítással próbálkozom majd.
|
|
[106] Gubbubu | 2004-04-13 10:13:43 |
23.feladat: Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, illetve a beírt és a körülírt kör sugara.
Megjegyzés: még csak 5-6 percet tudtam gondolkodni e feladaton, lehet hogy az átlagnál nehezebb, az is hogy nagyon könnyű.
|
|
[105] BohnerGéza | 2004-04-05 10:00:57 |
Kedves Csimby!
Észrevételed, segítséged helyes, de kiegészítésként: Az összes Apollonios-feladat megoldható inverzió nélkül is. (101. hozzászolás) Talán ezzel is segítettem valakinek.
A 21. feladat átfogalmazásához: Hiperbola ill. ellipszis: Azon kőrők középpontjainak mértani helye (halmaza), melyek átmennek az egyik fókuszon és érintik a másik fokusz közáppontú 2a (nagytengely) sugarú kört.
|
|
[104] Csimby | 2004-04-04 23:12:03 |
A 21. feladat-hoz csak annyit mondanék segítségnek, hogy inverzió!
|
|
|
[102] BohnerGéza | 2004-03-29 15:55:10 |
A 22. feladat: Legyen az ABC háromszög BC oldalához írt körének BC-n lévő érintési pontja G. Igazold, hogy az AG-re G-ben állított merőlegesnek a B ill. C csúcsnál lévő külső szögfelező közti szakaszát G felezi!
|
|
[101] BohnerGéza | 2004-03-29 15:49:36 |
Egy ábra [99] Csimby 21. feladatához.
A feladat nehéz, ez csak segítség.
A k1 és k2 kört érintő P-n átmenő kört érintő kör a szerkesztendő. A H hasonlósági pont? A P' szerkesztésével egy másik feladatra vezettük az eredeti átfogalmazását!
|
|
|
[100] BohnerGéza | 2004-03-23 14:59:39 |
22. feladat: A 20. feladat alapján fogalmazzuk meg az analóg új feladatot. (beírt kör érintési pontja helyett ...) Megoldása természetesen hasonlóan megy, mint a 20-é.
Gondolkodom, van-e értelme egy olyan új fórumtémának, melynek neve "Új" feladatok . Ebben, a fórumban megjelent feladatok alapján, analóg feladatokat, átfogalmazásokat, vagy a megoldásuk során felmerült, ott kitalált új feladatokat írhatnánk meg. A tanításban és tanuláskor is jól jöhetnek az ilyen ötletek.
Például a 21. feladat átfogalmazása: Adott két kör és egy pont. Szerkesszük meg a két kört érintö, a ponton áthaladó kört.
|
|
[99] Csimby | 2004-03-22 22:32:07 |
21.feladat Szerkesszük meg körzővel és vonalzóval két hiperbola metszéspontjait, ha a két-két fókuszpont közül kettő egy pontba esik.(Tehát adott a 3 fókuszpont és a két főtengely hossza)
|
|
|
[97] BohnerGéza | 2004-03-19 11:20:27 |
20. feladat: Legyen az ABC háromszög beírt körének BC-n lévő érintési pontja D. Igazold, hogy az AD-re D-ben állított merőlegesnek a B ill. C csúcsnál lévő belső szögfelező közti szakaszát D felezi!
|
|
|
[95] Pach Péter Pál | 2004-03-09 18:16:18 |
A 19. feladat mindhárom része megoldható vektorok használatával is: (R most is a kör sugara)
Legyen , ahol X=A,B,C,D,P Vegyük észre, hogy 2p=a+b+c+d. (Pl. a+b abba a pontba mutat, amelyet úgy kapjuk, hogy O-t tükrözzük AB-re. Így a jobboldalon álló vektor abba a pontba mutat, amelyet úgy kapjuk, hogy O-t tükrözzük P-re.)
AB merőlges CD-re, ezért (a-b)(c-d)=0. Könnyen látszik, hogy (a+b)(c+d)=0. Így 4p2=(a+b+c+d)2=4R2+2(ab+cd). Ezért ab+cd állandó. Így 2AB2+2CD2=2((a-b)2+(c-d)2=(a-b+c-d)2+(a-b+c-d)2=8R2-4(ab+cd), ami állandó.
4(AP2+BP2+CP2+DP2)=4((p-a)2+(p-b)2+(p-c)2+(p-d)2=(-a+b+c+d)2+(a-b+c+d)2+(a+b-c+d)2+(a+b+c-d)2=4(a2+b2+c2+d2)=16R2, ami állandó.
AC2+CB2+BD2+DA2=(a-c)2+(c-b)2+(b-d)2+(d-a)2=8R2-2(a+b)(c+d)=8R2.
|
|
[94] Zormac | 2004-03-09 14:32:34 |
A húrdarabok szorzata esetében a pont körre vonatkozó hatványát érdemes segítségül hívni, de szerintem az a) rész kijön a másik kettő nélkül is:
Legyen a kör sugara R, az OP távolság r, az AB és CD húrok távolsága O-tól rendre x és y. Pitagorasz szerint:
| (1) |
illetve
| (2) |
(1) és (2) összegéből
AB2+CD2=4(2R2-r2)
adódik, ami független a húrok irányától.
|
Előzmény: [93] lorantfy, 2004-03-08 11:22:19 |
|