Fórum: Érdekes matekfeladatok

Szerintem nagyon természetes a bizonyításod. (Az elején nyilván nem $\displaystyle \prod (l-k)$, hanem $\displaystyle \prod (a_l-a_k)$ van, de ez nem zavaró.)

Én eredetileg picit máshogy olvastam:

$\displaystyle \prod_{1\le i<j\le n}\frac{a_j-a_i}{j-i}=\frac{\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)}{\prod_{k=0}^{n-1} k!}=\left(\prod_{k=0}^{n-1}k!\right)^{-1}\cdot \left|\matrix{a_1^0 & a_2^0 & \dots & a_n^0\cr a_1^1 & a_2^1 & \dots & a_n^1 \cr a_1^2 & a_2^2 & \dots & a_n^2 \cr \dots & & & \dots \cr a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \dots & a_n^{n-1} }\right|=$

$\displaystyle =\quad \left|\matrix{\frac{a_1^0}{0!} & \frac{a_2^0}{0!} & \dots & \frac{a_n^0}{0!}\cr \frac{a_1^1}{1!} & \frac{a_2^1}{1!} & \dots & \frac{a_n^1}{1!} \cr \frac{a_1^2}{2!} & \frac{a_2^2}{2!} & \dots & \frac{a_n^2}{2!} \cr \dots & & & \dots \cr \frac{a_1^{n-1}}{(n-1)!} & \frac{a_2^{n-1}}{(n-1)!} & \dots & \frac{a_n^{n-1}}{(n-1)!} }\right|\quad =\quad \left|\matrix{\binom{a_1}0 & \binom{a_2}0 & \dots & \binom{a_n}0 \cr \binom{a_1}1 & \binom{a_2}1 & \dots & \binom{a_n}1 \cr \binom{a_1}2 & \binom{a_2}2 & \dots & \binom{a_n}2 \cr \dots & & & \dots \cr \binom{a_1}{n-1} & \binom{a_2}{n-1} & \dots & \binom{a_n}{n-1} }\right|\quad \in Z.$

De a feladat megoldható Vandermonde-determinánsok nélkül is.

Szerintem nem olyan nehéz megsejteni a választ: az $\displaystyle 0,1,2,\dots,n-1$ számokból készített szorzat (a legkisebb pozitív szorzat), vagyis $\displaystyle 1!\cdot 2!\cdot\dots\cdot (n-1)!$ a legnagyobb közös osztó.

Aha, a te bizonyításod egyszerűbb. Eltér az enyémtől, mert te nem jobbról, hanem balról szorzod meg valamivel a Vandermonde determinánst, mégpedig egy Stirling-számokból álló háromszög-mátrixszal.

Leírok egy megoldásvázlatot a feladatra (aztán kiderült, hogy a Skljarszkij-Csencov-Jaglomban is pont ez szerepel).

Legyen $\displaystyle p$ tetszőleges prímszám. Belátjuk, hogy $\displaystyle p$ kitevője $\displaystyle C=\prod_{1\le i<j\le n}(j-i)$-ben legalább annyi, mint $\displaystyle p$ kitevője $\displaystyle P=\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)$-ben.

Jelölje minden $\displaystyle r=0,1,\dots,p-1$-re $\displaystyle k_r$ azt, hogy hány $\displaystyle a_i$ ad $\displaystyle r$ maradékot $\displaystyle p$-vel osztva. Ekkor $\displaystyle p$ kitevője $\displaystyle P$-ben az $\displaystyle \binom 12=\binom 02=0$ jelöléssel

$\displaystyle \sum_{r=0}^{p-1}\binom{k_r}2.$

Ennek a minimumát keressük $\displaystyle k_0+k_1+\dots+k_{p-1}=n$ feltétel mellett ($\displaystyle k_r$ természetes szám). Ha valamely két $\displaystyle k_r$ eltérése legalább $\displaystyle 2$, akkor azokat egymás felé mozgatva, az összeg csökkenni fog; ebből következik, hogy a minimális összeget akkor érhetjük el, amikor bármely két $\displaystyle k_r$ eltérése legfeljebb $\displaystyle 1$. Ez éppen a $\displaystyle C$-ben előforduló $\displaystyle p$-kitevőnek felel meg.

Talán mégiscsak ez a legegyszerűbb megközelítés. Habár determinánsokkal kétségtelenül elegánsabb.

Adott egy háromszög, melynek szögei: $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$. Vezessük be a következő jelölést:

$\displaystyle S_a=\cos^2 B+\cos^2 C+2\sin B\sin C\cos A,$

és ciklikusan permutálva a szögeket adjuk meg $\displaystyle S_b$ és $\displaystyle S_c$ kifejezéseket.

Adott $\displaystyle S_a$ és $\displaystyle S_b$. Határozzuk meg $\displaystyle S_c$ értékét!

Ez egy teljesen rossz megoldás. $\displaystyle p^2$ is oszthatja az $\displaystyle a_j-a_i$ tényezőt, ahogy $\displaystyle j-i$-t is.

"Teljesen rossz" - szerintem ki bírod javítani. :)

Csak segíteni szeretnék ennek az egyszerű feladatnak a megoldásában. Egy lehetséges megoldás, ha felhasználjátok a koszinusztétel mindhárom alakját. Majd a szinusztételt alkalmazva írjátok fel $\displaystyle S_a+S_b+S_c$-ét az oldalak függvényében.

Szerintem lelőhetnéd.

Sziasztok srácok! Én még új vagyok ezen az oldalon, és lenne egy sorozatokkal kapcsolatos kérdésem! Na szóval a kérdés a következő: Hogyan tudok úgy sorozatot alkotni, hogy csak egy billentyűt használok hozzá,és egymás után több számot is leírok. Szóval ez egyfajta "1-es számrendszer" elvileg ez egy nagyon egyszerű feladat de én nem jöttem rá a megoldásra. a válaszokat előre is köszönöm:)