| [3936] w | 2014-09-28 14:05:41 |
 Szerintem nagyon természetes a bizonyításod. (Az elején nyilván nem &tex;\displaystyle \prod (l-k)&xet;, hanem &tex;\displaystyle \prod (a_l-a_k)&xet; van, de ez nem zavaró.)
Én eredetileg picit máshogy olvastam:
&tex;\displaystyle \prod_{1\le i<j\le n}\frac{a_j-a_i}{j-i}=\frac{\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)}{\prod_{k=0}^{n-1} k!}=\left(\prod_{k=0}^{n-1}k!\right)^{-1}\cdot \left|\matrix{a_1^0 & a_2^0 & \dots & a_n^0\cr a_1^1 & a_2^1 & \dots & a_n^1 \cr a_1^2 & a_2^2 & \dots & a_n^2 \cr \dots & & & \dots \cr a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \dots & a_n^{n-1} }\right|=&xet;
&tex;\displaystyle =\quad \left|\matrix{\frac{a_1^0}{0!} & \frac{a_2^0}{0!} & \dots & \frac{a_n^0}{0!}\cr \frac{a_1^1}{1!} & \frac{a_2^1}{1!} & \dots & \frac{a_n^1}{1!} \cr \frac{a_1^2}{2!} & \frac{a_2^2}{2!} & \dots & \frac{a_n^2}{2!} \cr \dots & & & \dots \cr \frac{a_1^{n-1}}{(n-1)!} & \frac{a_2^{n-1}}{(n-1)!} & \dots & \frac{a_n^{n-1}}{(n-1)!} }\right|\quad =\quad \left|\matrix{\binom{a_1}0 & \binom{a_2}0 & \dots & \binom{a_n}0 \cr \binom{a_1}1 & \binom{a_2}1 & \dots & \binom{a_n}1 \cr \binom{a_1}2 & \binom{a_2}2 & \dots & \binom{a_n}2 \cr \dots & & & \dots \cr \binom{a_1}{n-1} & \binom{a_2}{n-1} & \dots & \binom{a_n}{n-1} }\right|\quad \in Z.&xet;
De a feladat megoldható Vandermonde-determinánsok nélkül is.
|
| Előzmény: [3935] jonas, 2014-09-28 00:07:31 |
|
| [3937] Fálesz Mihály | 2014-09-28 17:59:17 |
 Szerintem nem olyan nehéz megsejteni a választ: az &tex;\displaystyle 0,1,2,\dots,n-1&xet; számokból készített szorzat (a legkisebb pozitív szorzat), vagyis &tex;\displaystyle 1!\cdot 2!\cdot\dots\cdot (n-1)!&xet; a legnagyobb közös osztó.
|
| Előzmény: [3935] jonas, 2014-09-28 00:07:31 |
|
| [3938] jonas | 2014-09-30 15:33:19 |
 Aha, a te bizonyításod egyszerűbb. Eltér az enyémtől, mert te nem jobbról, hanem balról szorzod meg valamivel a Vandermonde determinánst, mégpedig egy Stirling-számokból álló háromszög-mátrixszal.
|
| Előzmény: [3936] w, 2014-09-28 14:05:41 |
|
| [3939] w | 2014-10-23 11:36:52 |
|
Leírok egy megoldásvázlatot a feladatra (aztán kiderült, hogy a Skljarszkij-Csencov-Jaglomban is pont ez szerepel).
Legyen &tex;\displaystyle p&xet; tetszőleges prímszám. Belátjuk, hogy &tex;\displaystyle p&xet; kitevője &tex;\displaystyle C=\prod_{1\le i<j\le n}(j-i)&xet;-ben legalább annyi, mint &tex;\displaystyle p&xet; kitevője &tex;\displaystyle P=\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)&xet;-ben.
Jelölje minden &tex;\displaystyle r=0,1,\dots,p-1&xet;-re &tex;\displaystyle k_r&xet; azt, hogy hány &tex;\displaystyle a_i&xet; ad &tex;\displaystyle r&xet; maradékot &tex;\displaystyle p&xet;-vel osztva. Ekkor &tex;\displaystyle p&xet; kitevője &tex;\displaystyle P&xet;-ben az &tex;\displaystyle \binom 12=\binom 02=0&xet; jelöléssel
&tex;\displaystyle \sum_{r=0}^{p-1}\binom{k_r}2.&xet;
Ennek a minimumát keressük &tex;\displaystyle k_0+k_1+\dots+k_{p-1}=n&xet; feltétel mellett (&tex;\displaystyle k_r&xet; természetes szám). Ha valamely két &tex;\displaystyle k_r&xet; eltérése legalább &tex;\displaystyle 2&xet;, akkor azokat egymás felé mozgatva, az összeg csökkenni fog; ebből következik, hogy a minimális összeget akkor érhetjük el, amikor bármely két &tex;\displaystyle k_r&xet; eltérése legfeljebb &tex;\displaystyle 1&xet;. Ez éppen a &tex;\displaystyle C&xet;-ben előforduló &tex;\displaystyle p&xet;-kitevőnek felel meg.
Talán mégiscsak ez a legegyszerűbb megközelítés. Habár determinánsokkal kétségtelenül elegánsabb.
|
| Előzmény: [3936] w, 2014-09-28 14:05:41 |
|
| [3940] w | 2014-10-23 11:39:16 |
|
Adott egy háromszög, melynek szögei: &tex;\displaystyle A&xet;, &tex;\displaystyle B&xet; és &tex;\displaystyle C&xet;. Vezessük be a következő jelölést:
&tex;\displaystyle S_a=\cos^2 B+\cos^2 C+2\sin B\sin C\cos A,&xet;
és ciklikusan permutálva a szögeket adjuk meg &tex;\displaystyle S_b&xet; és &tex;\displaystyle S_c&xet; kifejezéseket.
Adott &tex;\displaystyle S_a&xet; és &tex;\displaystyle S_b&xet;. Határozzuk meg &tex;\displaystyle S_c&xet; értékét!
|
|
| [3941] Róbert Gida | 2014-10-23 11:58:19 |
 Ez egy teljesen rossz megoldás. &tex;\displaystyle p^2&xet; is oszthatja az &tex;\displaystyle a_j-a_i&xet; tényezőt, ahogy &tex;\displaystyle j-i&xet;-t is.
|
| Előzmény: [3939] w, 2014-10-23 11:36:52 |
|
|
| [3943] gyula60 | 2014-11-08 16:52:22 |
 Csak segíteni szeretnék ennek az egyszerű feladatnak a megoldásában. Egy lehetséges megoldás, ha felhasználjátok a koszinusztétel mindhárom alakját. Majd a szinusztételt alkalmazva írjátok fel &tex;\displaystyle S_a+S_b+S_c&xet;-ét az oldalak függvényében.
|
| Előzmény: [3940] w, 2014-10-23 11:39:16 |
|
|
| [3945] Szegedi Balázs | 2014-11-13 15:01:18 |
 Sziasztok srácok! Én még új vagyok ezen az oldalon, és lenne egy sorozatokkal kapcsolatos kérdésem! Na szóval a kérdés a következő: Hogyan tudok úgy sorozatot alkotni, hogy csak egy billentyűt használok hozzá,és egymás után több számot is leírok. Szóval ez egyfajta "1-es számrendszer" elvileg ez egy nagyon egyszerű feladat de én nem jöttem rá a megoldásra. a válaszokat előre is köszönöm:)
|
|
