Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[320] sakkmath2007-06-19 09:49:24

A megoldást tartalmazó pdf-fájl itt található:

http://journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/CRUXv22n7/body/PDF/page321-336.pdf?file=page321-336

Előzmény: [319] Gyöngyő, 2007-06-18 19:09:18
[319] Gyöngyő2007-06-18 19:09:18

Még annyit,hogy hol találtad meg?

Köszönettel:

Gyöngyő

[318] Gyöngyő2007-06-18 19:06:31

Köszönöm szépen!!!

Üdv.: Gyöngyő

[317] sakkmath2007-06-18 16:16:06

Most találtam a neten:

Előzmény: [316] Gyöngyő, 2007-06-18 14:05:54
[316] Gyöngyő2007-06-18 14:05:54

Sziasztok!

Már régebben is írtam,de akkor nem kaptam választ az A.414 es feladat megoldására! Tudnátok esetleg segíteni?

Üdv.: Gyöngyő

[315] Vonka Vilmos Úr2007-06-16 18:23:17

Olyan pont, amire a kapott kúpszelet kör lesz, pontosan egy lesz a síkban; hiszen a kúpszelet áthalad az A, B, C pontokon, tehát nem lehet más, mint a háromszög körülírt köre. Ezt a pontot úgy lehet megtalálni, hogy a körülírt kör tetszőleges P és P' pontjából "visszaszerkesztjük" a hozzájuk tartozó B' és C' pontokat, és a B'C' egyenes így megkapott két helyzetének metszéspontja adja a keresett A' pontot. Azt pedig, hogy a B'C' egyenes különböző helyzetei sugársort alkotnak, azzal igazolhatjuk, hogy ha éppen a P=A pontból indulunk ki, akkor mind a B', mind a C' pont az A pontba kerül, tehát a (B') és (C') pontsorok valóban perspektív helyzetűek.

Előzmény: [312] Yegreg, 2007-06-16 15:15:38
[314] Vonka Vilmos Úr2007-06-16 17:41:24

A (B') pontokból álló AC tartóegyenesű és a (C') pontokból álló AB tartóegyenesű pontsorok az A' középponttal perspektív helyzetűek. Így B-ből vetítve a (B') pontokat és C-ből vetítve a (C') pontokat egymáshoz projektív sugársorokat kapunk. P éppen a projektivitásban egymásnak megfelelő egyenesek metszéspontja. Projektív sugársorok metszési alakzatáról pedig jól ismert (Steiner-tétel), hogy kúpszelet. Ezen kúpszeletre illeszkednek a sugársorok tartópontjai (B és C). A (B') és (C') pontsorok perspektivitásában az A pont fix, így a BA és CA egyenesek a projektivitásban egymásnak felelnek meg, tehát az A pont is illeszkedik a fenti kúpszeletre.

Előzmény: [310] Yegreg, 2007-06-16 14:31:25
[313] Anum2007-06-16 16:49:54

Hát igen. Nekem is hasonló. Progi nélkül nem jött ki. Így nem is vesződtem vele. Két lehetőséget látok:

1. vagy van valami nagyon "frappáns" megoldás. 2. a versenyzők türelmét, számolási késégét kívánták mérni,

Ha 1. akkor várjuk a választ! :)

Ha 2. akkor ezt a feladatot inkább valmely matek pontversenybe kellett volna kitűzni. Nem látom sok értelmét egy viszonylag kevés (mondhatni minimális) fizikai tartalommal rendelkező ám annál magasabb matematikai ismereteket megkövetelő feladat kitűzésének.

Remélem az 1. áll fenn, mert a 2. elég kiábrándító lenne...

Előzmény: [307] Alma, 2007-06-12 13:41:56
[312] Yegreg2007-06-16 15:15:38

És akkor felmerül a kérdés, hogy egy általános ABC háromszög esetén mely pontokra lesz a kapott kúpszelet kör?

[311] Yegreg2007-06-16 15:13:47

Persze, ebből az is következik, hogy ha ABC nem szabályos, akkor is igaz az állítás.

[310] Yegreg2007-06-16 14:31:25

B4004. módosítása:

Adott az ABC szabályos háromszög síkjában egy A' pont. Egy, az A'-n átmenő egyenes az AB és AC egyeneseket rendre a C' és a B' pontokban metszi (az egyszerűség kedvéért B' és C' lehetnek ideális pontok is). Igazoljuk, hogy a BB' és a CC' egyenesek metszéspontjának mértani helye egy, az A, B és C pontokon átmenő kúpszelet (ellipszis, hiperbola, parabola, kör vagy két metsző egyenes)!

[309] Alma2007-06-12 21:59:48

Kedves Dani! Szerintem mi ezt már MSNen is megbeszéltük :D. Azért köszi a választ.

Előzmény: [308] tüzes, 2007-06-12 20:22:26
[308] tüzes2007-06-12 20:22:26

Kedves Alma! (Re: P.3992) Megpróbáltam megoldani a példát kézzel, nem ment. Próbáltam számítógépes programmal, nem ment. A szögre én is kaptam harmadfokú egyenletet, melyből én két nem valós és 1 valós gyököt kaptam. (Azért nem valós, mert volt benne i, és a program sehogy sem tudta kiküszöbölni). A páldában kitűzött kérdésekre csak program által adott eredményekkel tudtam válaszolni, de a becsapódás helyét még a számítógép sem tudta kiszámolni (egzakt módon). Akinek sikerült megoldania bármilyen módszerrel, kérjük ossza meg velünk eredményét!

Előzmény: [307] Alma, 2007-06-12 13:41:56
[307] Alma2007-06-12 13:41:56

A mostani számban volt egy fizikafeladat, a P.3992., ami nekem nem nagyon tetszett. Én az elválási szög koszinuszára egy szép paraméteres harmadfokú egyenletet kaptam, aminek természetesen 3 valós gyöke van (és i-t egyikből sem tudtam kiküszöbölni). Mi nyílván csak a 0 és 1 közé esőt keressük. Ebből kellett még sebességet, becsapódási sebességet és még földetérés helyét is számolni. Szerintem ez csak papírral és ceruzával közel lehetetlen (rengeteg munka és hogy melyik gyök van 0 és 1 között az nem is egyszerű) Úgy gondoltam, hogy +1 pont nekem nem ér meg ennyi fáradságot. Valaki megcsinálta a feladatot? Ha valaki tud frappáns megoldást (program használata NÉLKÜL), annak nagyon örülnék ha megosztaná velem.

[306] Gyarmati Péter2007-06-06 15:38:07

A 2004. szeptemberi számban jelent meg a K.1. feladat. A tábla felállítás helytelen, mert a jobb alsó sarok (h1) színe világos kell, hogy legyen. Az utolsó soron (világos esetében a nyolcadikon) nem állhatnak gyalogok, mert ott át kell változniuk valamilyen tisztté.

Mit akartam ezzel mondani? Egy több ezer éves játék a kultúra része; figyeljünk rá jobban, még ha csak eszközként is használjuk, mint például a K.1-ben.

[305] Doom2007-05-28 14:46:35

Véleményem szerint minden javítónak meg kell tudnia oldani az olyan szintű példákat, amiket javít. Emellett persze jó szolgálatot tesz - tehetne az elektronikus munkafüzetben megjelenő mintamegoldás, csak jóval a javítási határidő után kerül fel. Így viszont nem látom túl sok értelmét, hiszen a javítót már nem segíti.

Ui: mivel nem tudtam, ez melyik topicba is tartozna igazán, így ide raktam, mert gondolom ezt rendzseresen olvassák, nehogy még aktuális példa megoldása kerüljkön fel. :)

[304] Csimby2007-05-16 23:39:12

A.427. Egy papírlap szélére 2007 "fület" ragasztunk. A fülek egy-egy hosszú papírcsíkból állnak, amelyek keresztezhetik egymást, de egyikük sem csavarodhat meg. Igazoljuk, hogy az így keletkezett felületnek legalább két határgörbéje van. (Például az ábrán látható felületnek három határgörbéje van.)

Tegyük fel, hogy m db fül hozzáragasztása után a határ k db (diszjunkt) "kör". Ekkor egy újabb fül vagy két ilyen kör között megy és így a két körből egy nagyot csinál, vagy pedig egy darab kört vág szét két körre. Az első esetben eggyel csökken míg a másodiban eggyel nő a határoló körök száma. Kezdetben (az első fül hozzáragasztása előtt) a határ egy darab körből áll. Az előzőek miatt viszont csak páros sok fül hozzáragasztása után maradhat ez a szám 1.

[303] Willy2007-03-28 13:16:46

(Off topic: Mellesleg ezért is gondolom úgy, hogy nem szabad mások pontosságát minősíteni... bár az is igaz, hogy nem nekem kell erkölcsre tanítanom másokat.)

Előzmény: [302] Willy, 2007-03-28 13:14:39
[302] Willy2007-03-28 13:14:39

P.3949.

Ezt a feladatot és a belőle levonható néhány tanulságot ajánlom mindenkinek (mint érdekesség): A feladat nem volt bonyolult, viszont volt benne egy probléma, ami nem tűnt fel mindenkinek. Ez a rész a kapcsolattartási idő meghatározása volt.

A gond nem is volt annyira szembeötlő, sőt, inkább részletesebb átgondolást ás megfontolásokat igényelt. Ezért is született az a döntés, hogy minden helyes, de pontatlan megoldást elfogadunk. Lényegében tényleg a pontossággal is foglalkozni kellett/lehetett.

Aki foglalkozott a feladattal, az tudja, hogy a szonda keringési ideje kb. 1,7h. Ez viszont már nem elhagyagolható a Mars keringési idejéhez képest, ami kb. 24h, tehát ezt is érdemes figyelembe venni a pontosabb eredményhez (ez által okozott hiba kb. 7%). A feladatban erre nem volt utalás (bár a sugárra sem). Az sem mindegy, hogy milyen pályán kering a szonda, ezért inkább egy intervallumot érdemes megadni a lehetséges kapcsolattartási idővel, ami 447s és 516s között van. ( vagy (418,5\pm34,5) s) Látható, hogy egy figyelmen kívül hagyott jelenség mennyire képes eltorzítani a számításokat.

Amiért mégis nagyon jó és hasznos ez a feladat, hogy mindenki, aki most ebben már elmerült egy kis "filozófiát" is tanulhat mellé. Egy ilyen feladatnál is törekedni kell a minél pontosabb megoldásra, de kérdés, hogy meddig. Erre a kérdésre a választ egyetemen tanuljátok majd, ott majd látjátok, hogy ez "attól függ..."-el kezdődik (főleg a mérőeszköz szabja meg). Ez a feladat csak egy elméleti levezetés, aminek a pontosságát a szöveg határozta meg.

Akik észrevették ezt az eltérést, azoknak nagyon örültem, akik meg kihagyták, azoknak sem kell szényenkezniük, a feladat volt kicsit "bibis", másrészt 7% kockás lapon nem a világ (műszaki rajzlapon és egyetemi JK-ban már annál vészesebb). De tényleg érdemes az ilyen apróságokra is odafigyelni, főleg, ha az embernek ez lesz a szakmája. (Nem is beszélve azokról az ismeretlen hatásokról, amikről talán még nem is tudunk.)

[301] Python2007-03-26 16:36:24

Én is kb így csináltam.

Nekem a befejezése (szerintem) egyszerűbb, de logikailag ugyanaz.

a-val jelöltem a kérdezett mennyiséget.

[...]

Összeadva az eredeti egyenleteket:

(4)2(x2+y2+z2)+xy+yz+zx=10

és 3a-t hozzáadva

(5)2(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx)=2(x+y+z)2=10+3a

[...(páronkénti kivonás)...]

Adjuk össze a (6), (7), és (8) egyenletek négyzeteit: ((6), (7), (8): páronként kivonással kapott egyenletek)

(x+y+z)^2\left[(z-x)^2+(y-x)^2+(z-y)^2\right]=9+4+1

Felszorozva 2-vel:

2(x+y+z)2(2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx)=28,

felhasználva (4)-et és (5)-öt

(10+3a)(10-3a)=28

100-9a2=28

72=9a2

a=\root\of{8},

mivel csak pozitív lehet.

Előzmény: [298] jenei.attila, 2007-03-25 21:31:08
[300] rizsesz2007-03-25 23:57:25

szerintem ez ismert feladat volt, legalábbis nekem rémlik valami tök ugyanilyen feladat a 20. század végéről. :)

[299] Yegreg2007-03-25 21:50:04

nem, tudom, ez a koszinusz-tételes dolog nekem zuhanyozás közben ugrott be :oD, a terület meg már onnantól adta magát

[298] jenei.attila2007-03-25 21:31:08

Ketten is ugyanazt a megoldást adtátok, ezek szerint ez egy ismert feladat volna? Az én megoldásom algebrai és némileg hosszabb. Vázlatosan: Az egyenleteket páronként kivonva egymásból kapjuk: (x-z)(x+y+z)=-3, (y-z)(x+y+z)=-1, (x-y)(x+y+z)=-2 (nem függetlenek, de ez nem baj). Ezeket négyzetre emelve és összadva:

(x+y+z)2((x-y)2+(x-z)2+(y-z)2)=14

Az (x-y)2=x2-2xy+y2 azonosságból és az első egyenletből kapjuk, hogy (x-y)2=2-3xy. Hasonlóan (x-z)2=3-3xz, (y-z)2=5-3yz. A rövidség kedvéért vezessük be az A:=xy+xz+yz jelölést. Továbbá az eredeti egyenleteket összeadva, és felhasználva a három tag összegének négyzetére vonatkozó azonosságot kapjuk, hogy

x^2+y^2+z^2=\frac{1}{2}(10-A)

. A most nyert kifejezéseket a

(x+y+z)2((x-y)2+(x-z)2+(y-z)2)=14

egyenletbe helyettesítve:

(\frac{1}{2}(10-A)+2A)(10-3A)=14

, Ebből pedig A=\sqrt 8.

Előzmény: [297] S.Ákos, 2007-03-25 20:10:40
[297] S.Ákos2007-03-25 20:10:40

Egy ismerősöm mondta az alábbi bizonyítást:

Tekintsük a \sqrt2;\sqrt3;\sqrt5 oldalú derékszögű ABC háromszöget, amelynek izogonális pontja I. Legyen AI=x;BI=y;CI=z. Ekkor az ABI;BCI;CAI háromszögekre felírt koszinusz-tételek az egyenleteket adják.T_{ABC}=\frac{\sqrt3\sqrt2}2 A terület (a t=\frac{ab\sin\gamma}2 területképletet használva) T_{ABI}=\frac{xy\sin120}2=\frac{\sqrt3}4xyés hasonlóan T_{CBI}=\frac{\sqrt3}4zy T_{CAI}=\frac{\sqrt3}4zx De

TABI+TCBI+TACI=TCBA

\frac{\sqrt3}4(xy+yz+xz)=\frac{\sqrt3\sqrt2}2

xy+xz+yz=2\sqrt2

Előzmény: [295] jenei.attila, 2007-03-25 19:02:16
[296] Yegreg2007-03-25 19:34:25

mondjuk egy \sqrt2, \sqrt3 és \sqrt5 oldalú derészögű háromszög izogonális pontjának csúcsoktól vett távolságainak kell lenni x,y,z-nek (cos-tételből), innen pedig csak a területet kell megnézni kétféleképpen.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]