Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[721] valaki akit úgyis ismersz	2012-11-14 20:42:41
Tudomásul vettem.
Előzmény: [720] Róbert Gida, 2012-11-14 20:14:48

[720] Róbert Gida	2012-11-14 20:14:48
Az számít, hogy mit küldtél be, azt pedig mi nem tudhatjuk. Amúgy, ha nagyon szigorúan nézném, akkor 0 pontos is lehetne a megoldásod, mert nem a feladott példát oldottad meg. Érettségin például simán kaphatsz ilyenért nulla pontot.
Előzmény: [719] valaki akit úgyis ismersz, 2012-11-14 17:14:16

[719] valaki akit úgyis ismersz	2012-11-14 17:14:16
Elnézést, kissé félreírtam; mm2m: valóban szorzás nem összeadás; továbbá a törtbecslésnél szigorú az egyenlőtlenség, mint a háromszög-egyenlőtlenségben, nincs 1 pont levonás.
Előzmény: [716] m2mm, 2012-11-14 00:43:58

[718] Fálesz Mihály	2012-11-14 09:11:48
Érdemes megrajzolni az ABC, ABP, BCP, CAP háromszögek beírt köreit.
Előzmény: [716] m2mm, 2012-11-14 00:43:58

[717] Róbert Gida	2012-11-14 02:10:06
$<\frac 52$ -et kellett bizonyítani. 1 pont levonás.
Előzmény: [714] valaki akit úgyis ismersz, 2012-11-13 22:07:01

[716] m2mm

2012-11-14 00:43:58

A.570. (vázlatos)

AC₁(P)PB₁(P) pontosan akkor érintőnégyszög, ha AB-AC=PB-PC(ismert, de érintőszakaszok felírásával triviális). P tehát az a pont, amin áthaladnak azon hiperbolaágak, melyekhez tartozó fókuszpontok ABC háromszög két csúcsa, és áthaladnak a harmadik csúcson. P megvan konstruálva, szerkesztés az már csúnyább, de a hiperbolaágak egyenlete felírható és ezekből a metszéspont is megvan... A kérdés, hogy számolás nélkül valaki megtudja-e szerkeszteni?

[715] m2mm

2012-11-14 00:18:15

Hát na ne már egy egyenlőtlenség-feladat nem attól lesz szép, hogy kipróbálunk egy Cauchy-t és hopp, kijön belőle még egy lépéssel, hanem inkább tudatosan keressünk köztes becslést(mint a hiv. megoldás is) illetve a kifejezés, mint fv. viselkedéséből szűrünk le infót. Persze ez gusztus dolga.

Ja, az első egyenlőtlenségedben a két gyökös kifejezést nem összeadod, hanem összeszorzod, erre figyeljünk, az ember ebben hiába keres Cauchy-t.

Előzmény: [714] valaki akit úgyis ismersz, 2012-11-13 22:07:01

[714] valaki akit úgyis ismersz

2012-11-13 22:07:01

A szépség a feladatban az, hogy egyszerű módon is megoldható, ráadásul durva becslésekkel. Cauchy-egyenlőtlenség szerint $bal oldal \le \sqrt{\frac{2a+c}{3a+b}+\frac{2b+a}{3b+c}+\frac{2c+b}{3c+a}}+\sqrt{\frac{2b+c}{3b+a}+\frac{2c+a}{3c+b}+\frac{2a+b}{3a+c}}=A$ .

Továbbá pl.

$\frac{2a+c}{3a+b}\le\frac{2a+c+(b+c-a)}{3a+b+(b+c-a)}=\frac{k+c}{2k-c}$

,ahol k=a+b+c (törtek becslésére vonatkozó tétel, $\Delta$ -egyenlőtlenség). Tehát

$A\le\sqrt{\frac{k+a}{2k-a}+\frac{k+b}{2k-b}+\frac{k+c}{2k-c}}\sqrt{\frac{k+a}{2k-a}+\frac{k+b}{2k-b}+\frac{k+c}{2k-c}}=\frac{k+a}{2k-a}+\frac{k+b}{2k-b}+\frac{k+c}{2k-c}\le\frac{k+2a}{2k}+\frac{k+2b}{2k}+\frac{k+2c}{2k}=\frac52$ .

Azaz készen vagyunk. A korlát élességéről némi határértékszámítással győződhetünk meg, ha a=b és c egészen kicsi.

[713] nadorp

2012-11-13 15:54:42

A bizonyítás első része deriválás nélkül is megy:

(2a+c)(2b+c)=c²+2ac+2bc+4ab=(a+b+c)²-(a-b)²

(3a+b)(3b+a)=3a²+10ab+3b²=4(a+b)²-(a-b)²

Tehát, felhasználva, hogy 2(a+b)>a+b+c

$\frac{(2a+c)(2b+c)}{(3a+b)(3b+a)}=\frac{(a+b+c)^2-(a-b)^2}{4(a+b)^2-(a-b)^2}=1-\frac{4(a+b)^2-(a+b+c)^2}{4(a+b)^2-(a-b)^2}\leq$

$\leq1-\frac{4(a+b)^2-(a+b+c)^2}{4(a+b)^2}=\frac{(a+b+c)^2}{4(a+b)^2}$

Előzmény: [712] m2mm, 2012-11-13 13:42:08

[712] m2mm

2012-11-13 13:42:08

A.571.

Először $\sqrt{\frac{(2a+c)(2b+c)}{(3a+b)(3b+a)}}\le \frac{a+b+c}{2(a+b)}$ -t látom be. Négyzetre emelve és egy oldalra hozva a c-t tartalmazó tényezőket az ekvivalens $\frac{4(a+b)^2}{(3a+b)(3b+a)}\le \frac{(a+b+c)^2}{(2a+c)(2b+c)}$ (*) a bizonyítandó. Rögzített 0<a,b-re tekintsük f_a,b: R⁺->R⁺ $f_{a,b}(t)=\frac{(a+b+t)^2}{(2a+t)(2b+t)}$ függvényt.

$f'_{a,b}(t)=\frac{2(a+b+t)(2a+t)(2b+t)-(a+b+t)^2(a+b+t)^2}{(2a+t)^2(2b+t)^2}\le 0$ , mivel ez ekvivalens 2(a+b+t)(2a+t)(2b+t)-2(a+b+t)²(a+b+t) $\le$ 0-val, (2a+t)(2b+t) $\le$ (a+b+t)²-tel, 0 $\le$ (a-b)²-tel. Tehát f_a,b monoton csökkenő, továbbá a+b>c, így f_a,b(c) $\ge$ f_a,b(a+b). Behelyettesítve (*) adódik. Tehát $\sqrt{\frac{(2a+c)(2b+c)}{(3a+b)(3b+a)}}\le \frac{a+b+c}{2(a+b)}$ . A másik két tagra is felírva a hasonlóan adódó egyenlőtlenséget

$\sqrt{\frac{(2a+c)(2b+c)}{(3a+b)(3b+a)}}+\sqrt{\frac{(2b+a)(2c+a)}{(3b+c)(3c+b)}}+\sqrt{\frac{(2a+b)(2c+b)}{(3a+c)(3c+a)}}\le \frac{a+b+c}{2(a+b)}+\frac{a+b+c}{2(c+b)}+\frac{a+b+c}{2(a+c)}=$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}(\frac{c}{a+b}+\frac{a}{c+b}+\frac{b}{a+c})<\frac{5}{2}$ , mivel $\frac{c}{a+b}+\frac{a}{c+b}+\frac{b}{a+c}< \frac{2c}{a+b+c}+\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}=2$ .

[711] m2mm	2012-10-12 13:39:38
Szándékos is lehetett, letesztelni ki az akit lehet tanítani, nem csak vegetál szakkörökön, illetve ki az aki a nehéznek tűnő feladatokat bemisztifikálja és esélytelen emiatt egy IMO 3 vagy 6-ra...
Előzmény: [710] Róbert Gida, 2012-10-12 00:56:00

[710] Róbert Gida

2012-10-12 00:56:00

Lejárt A567. megoldása.

Ritkán ad a szerkesztő (Kós Géza) segítséget egy akkor még élő feladathoz. Az olimpiai szakkör második feladatának (1988/6) megoldásában ugyanaz a trükk van, mint az egyébként pont a Pelikán által kitűzött A567-ben.

Egyszerre oldom meg az a,b, részét a feladatnak, legyen e=5 vagy 3. A feladat szerint a|b²-e, és b|a²-e és a,b relatív prímek, így ab|a²+b²-e is teljesül, sőt ez megfordítva is igaz (kivéve az, hogy relatív prímek lesznek). Nagyszerű, a két oszthatósági feltételből egyet csináltam.

Ha ab|a²+b²-e, akkor a²+b²-e=kab teljesül valamilyen k egészre (k lehet negatív is). Az a,b szerepe szimmetrikus, így feltehető, hogy a $\le$ b. Rendezve: b²-kab+a²-e=0, azaz x=b megoldása az x²-kax+a²-e=0 másodfokú egyenletnek. Végtelen leszállás (méthode de descente infinie) következik, majd felszállás.

Tegyük fel, hogy a>2 teljesül. Ha az egyenletnek az egyik megoldása 'b', akkor a másik b₂=ka-b (gyökök és együtthatók közti összefüggés) és a,b₂-re teljesül, hogy a²+b₂²-e=kab₂, sőt a,b₂ relatív prímek, hiszen lnko(a,b₂)=lnko(a,ka-b)=lnko(a,b), továbbá b₂ egész (trivi), és pozítiv, hiszen $b_2=\frac{a^2-e}{b}>0$ , mert a²-e $\ge$ 9-5=4>0 és b>0. Már csak az kell, hogy "kisebb" megoldást találtunk, valóban: $b_2=\frac{a^2-e}{b}<\frac{a^2}{b}\le a$ (utóbbi azért, mert a $\le$ b volt). Azaz a (b₂,a) pár megoldás, ahol b₂<a, így az (a,b) párnál a rendezésben kisebb megoldást kaptunk.

Leszállás addig működik, amíg az a>2 feltétel teljesül. Mikor akadunk el e=3 esetben: ha a=1, akkor b=1 vagy b=2, míg az a=2 eset nem ad megoldást. Így (még a (2,1) páron kívül) nincs más megoldás, hiszen a felszálláshoz szükséges b>2 feltétel egyikre sem teljesül. Ha e=5, akkor a=1 esetén b=1,2,4 és a=2 nem ad megoldást. Végtelen felszállás működik, de csupán az (1,4) párra, hiszen ott b>2. Figyeljük meg, hogy k értéke egy sorozat mentén konstans, itt k=3. Azaz az összes megoldás (1,1),(1,2) és legyen a₀=1;a₁=4;a_n=3a_n-1-a_n-2, ekkor (a_n,a_n+1) megoldás, illetve ezek felcserélésével kapott párok. És nincs több megoldás. Ehhez még elsüthetjük azt, hogy a fel/leszállás adott megoldásból kiindulva egyértelmű, hiszen a másodfokú egyenletnek két gyöke van.

[709] Róbert Gida

2012-05-10 23:56:19

Tavalyi B. 4364. megoldásához:

Legyen c=z;b=y+z;a=x+y+z ahol x,y,z nemnegatív a feltételek miatt. Behelyettesítve és rendezve az egyenlőtlenséget bal oldalra minden tag együtthatója pozitív lesz. Nagyon olcsó példa.

A Mathematica is bebizonyítja (Simplify elég hozzá).

[708] Róbert Gida

2012-04-11 17:11:59

(lejárt) A557.

Solution. Define a₁=3,a_n+1=(a_n²+1)/2. Paint the numbers in the interval A_i=[a_i,a_i+1) in the color i mod 3. The number 1 painted in color 2, number 2 - as you like. Now consider any x,y,z(x<y) such that x+y=z² and z lies in A_i. Then it is easy to see that y is either A_i+1, or A_i+2, ie, y and z have different colors. Equality 1+3=2² is also not suitable.

A megoldás az internetről jön. Oroszból lefordítva a google translate segítségével (tex-be áttéve és a mat.jeleket újra beírva). 5 perc alatt találtam meg, google és google translate kellett hozzá. Kezdő internetezőnek talán érdekes lehet, hogy nulla orosz tudással egy orosz lapon levő zip-elt file-ban levő orosz nyelvű feladatot és megoldást miért is lehet egyáltalán megtalálni. Kömal kiírásból: "Többször előfordult már, hogy egy-egy feladat szerepelt valamely példatárban, vagy megtalálták az interneten...Célunk továbbra is versenyzőink problémamegoldó képességének feljesztése, nem pedig a keresőprogramok tesztelése", de itt nem pusztán kereső kellett hozzá. És ez nem az első Kolmogorov kupás feladat volt az A jelűek között, talán érdemes lenne kitűzés előtt az interneten rákeresni, hogy a megoldás fent van-e. Megjegyzem nem minden megoldást tettek fel a Kolmogorov kupáról, de például az A545 és az A539 Kolmogorov kupás feladatok megoldásai ugyanitt megtalálhatóak. 15 ingyen pont kicsit sok az A pontversenyben 1 tanév alatt, nem?

[707] m2mm	2012-04-11 13:47:52
A. 558. feladatot valaki megoldotta a fórumosok közül? Érdekelne a megoldása.

[706] nadorp

2012-03-14 00:45:26

2. megoldás az A556 feladatra:

Legyen $f(t)=\sum_{i=1}^n|\sin(t-a_i)|$ . Ha n=1, akkor t=a₁ választással a feladat állítása nyilván teljesül, ezért a továbbiakban feltesszük, hogy n $\geq$ 2.

Mivel az f(t) függvény $\pi$ -szerint periodikus, ezért az állítást elegendő abban az esetben bizonyítani, amikor

0 $\leq$ t< $\pi$ és 0 $\leq$ a_i< $\pi$ ( 1 $\leq$ i $\leq$ n), sőt az általánosság megsértése nélkül az is feltehető, hogy

(1)	0 $\leq$ t< $\pi$ , 0 $\leq$ a₁ $\leq$ a₂ $\leq$ ... $\leq$ a_n< $\pi$

. Ekkor

(2)	$\|\sin(t-a_i)\|=\left\{\matrix{\sin(t-a_i)&ha&t>a_i\cr \sin(t-a_i+\pi)&ha&t\leq a_i}\right.$

Szükségünk lesz még a következő azonosságra

(3)	$\sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}n=\ctg\frac\pi{2n}$

Valóban

$\sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2\sin\frac{k\pi}n\sin\frac\pi{2n}}{2\sin\frac\pi{2n}}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\cos(k-\frac12)\frac\pi{n}-\cos(k+\frac12)\frac\pi{n}}{2\sin\frac\pi{2n}}=\frac{\cos\frac\pi{2n}-\cos(n-\frac12)\frac\pi{n}}{2\sin\frac\pi{2n}}=\ctg\frac\pi{2n}$

Rátérve a feladat bizonyítására, azt fogjuk belátni, hogy az (1) feltételek mellett $\frac1n\sum_{i=1}^nf(a_i)\leq\ctg\frac\pi{2n}$ . Ebből már következik a feladat állítása, hiszen ha $f(a_k)=\min_{1\leq i\leq n}f(a_i)$ , akkor $f(a_k)\leq\ctg\frac\pi{2n}$ is teljesül.

$\sum_{i=1}^nf(a_i)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|\sin(a_i-a_j)|=\sum_{k=1}^{n-1}\sum_{i-j\equiv k~mod(n)}|\sin(a_i-a_j)|$

Itt felhasználva (2)-t és hogy a sinus függvény a [0, $\pi$ ] intervallumon konkáv

$\sum_{i-j\equiv k~mod(n)}|\sin(a_i-a_j)|=\sin(a_1-a_{n-k+1}+\pi)+...+\sin(a_k-a_n+\pi)+\sin(a_{k+1}-a_1)+...+\sin(a_n-a_{n-k})\leq$

$\leq n\sin\frac{(a_1-a_{n-k+1}+\pi)+...+(a_k-a_n+\pi)+(a_{k+1}-a_1)+...+(a_n-a_{n-k})}n=n\sin\frac{k\pi}n$

tehát (3) alapján

$\sum_{i=1}^nf(a_i)\leq\sum_{k=1}^{n-1}n\sin\frac{k\pi}n=n\ctg\frac\pi{2n}$

Megjegyzés: Az f(t) függvény minimumára adott felső becslés általában már nem javítható, ugyanis $a_k=\frac{(k-1)\pi}n$ (1 $\leq$ k $\leq$ n) esetén $f(t)\geq\ctg\frac\pi{2n}$ teljesül és egyenlőség t=a_k+m $\pi$ ( m egész) esetén van

[705] jenei.attila	2012-03-13 09:14:30
Szép feladat volt ez, és nagyon szép megoldásokat adtatok rá. Különösen az első tetszett, de Fálasz Mihályé is igen elegáns. A harmadik a vektorok használatának erejét mutatja, az is nagyon ügyes. Grat mindkettőtöknek.
Előzmény: [702] HoA, 2012-03-09 10:49:57

[704] HoA

2012-03-09 14:43:39

A szemléletes megoldások után jöjjön egy mechanikus, vektoralgebrai. Jelöljük a $\vec V$ vektor 90 fokos pozitív elforgatottját $\vec {V_n}$ -nel, $\vec V$ és $\vec {V_n}$ összegét $\vec {V_d}$ -vel . $\vec {V_d}$ a $\vec V$ -vel 45 fokos szöget bezáró, $\sqrt 2 |\vec V |$ hosszúságú vektor. Könnyen belátható, hogy tetszőleges $\vec U$ és $\vec V$ vektorokra $( \vec U + \vec V)_n = \vec {U_n} + \vec {V_n}$

Legyen $\vec{CA} = \vec a$ , $\vec{CB} = \vec b$ . Ekkor $\vec {NL} = 1/2 \vec a$ , $\vec {NM} = 1/2 \vec {( a - b )}$ , $\vec {LO} = 1/2 \vec {( a - b )_n}$ , $\vec {NO} = 1/2 ( \vec a + \vec {( a - b )_n } )$ . Hasonlóan $\vec {MO} = 1/2 ( \vec b + \vec {( a - b )_n } )$

$\vec {NO} = 1/2 (\vec a + \vec a_n - \vec b_n ) = 1/2 (\vec {a_d} - \vec {b_n} )$ . Mivel $\vec {a_d}$ és $\vec {b_n}$ adott hosszúságú vektorok, különbségük abszolút értéke akkor lesz a legnagyobb, ha egy egyenesbe esnek és ellentétes irányúak. $\vec {a_d}$ $\vec a$ - hoz képest 45 fokra áll, tehát $\vec {b_n}$ 225 fokra és így $\vec b$ 135 fokra. Hasonlóan adódik, hogy $\vec {MO}$ is akkor a leghosszabb, ha $\vec a$ és $\vec b$ 135 fokos szöget zár be.

Előzmény: [703] Fálesz Mihály, 2012-03-09 13:37:29

[703] Fálesz Mihály

2012-03-09 13:37:29

B. 4408. Az ABC háromszögben AC és BC oldalak hossza rögzített, a C-nél levő szög pedig változik. Az AC oldal felezőpontja M, a BC oldal felezőpontja N, az AB oldalra kifelé állított négyzet középpontja pedig O. Hogyan kell az ACB szöget megválasztani ahhoz, hogy az OM és ON távolságok összege a lehető legnagyobb legyen?

Megoldás. Legyen az AB oldal felezőpontja K, ekkor persze CMKN paralelogramma, és megjelölt szögek egyállású szögek. Az AOK és BOK háromszögek egyenlő szárú derékszögű háromszögek.

Írjuk fel a Ptolemaiosz-tétel egyenlőtlenség alakját az OAMK négyszögre: OM^.AK $\le$ OA^.MK+OK^.AM; ebből

$OM \le \frac{OA}{AK} \cdot MK + \frac{OK}{AK} \cdot AM = \sqrt2 \cdot \frac{BC}2 + 1 \cdot \frac{AC}2 = \frac{\sqrt2}2 BC + \frac12 AC.$

(1)

Egyenlőség akkor van, ha OAMK húrnégyszög. Mivel AOK $\angle$ =45^o, ez ekvivalens azzal, ha KMA $\angle$ =135^o, azaz BCA $\angle$ =135^o.

Ha a Ptolemaiosz-tételt az OBNK négyszögre írjuk fel, akkor azt kaphatjuk, hogy

$ON \le \frac{\sqrt2}2 AC + \frac12 BC,$

(2)

és egyenlőség most is akkor van, ha BCA $\angle$ =135^o.

Az (1) és (2) becslések összeadásával

$OM+ON \le \frac{1+\sqrt2}2(AC+BC).$

Az OM és ON összege tehát legfeljebb $\frac{1+\sqrt2}2(AC+BC)$ , és ez az érték akkor áll elő, ha BCA $\angle$ =135^o.

Előzmény: [702] HoA, 2012-03-09 10:49:57

[702] HoA	2012-03-09 10:49:57
B. 4408. Az ABC háromszögben AC és BC oldalak hossza rögzített, a C-nél levő szög pedig változik. Az AC oldal felezőpontja M, a BC oldal felezőpontja N, az AB oldalra kifelé állított négyzet középpontja pedig O. Hogyan kell az ACB szöget megválasztani ahhoz, hogy az OM és ON távolságok összege a lehető legnagyobb legyen? Az 1. ábrán MNPQ és ABRS négyzetek, L az AB oldal felezőpontja. $\vec{OM} = \vec{OL} + \vec{LM} = \vec{PN} + \vec{NC} = 1/2 ( \vec{RB} + \vec{BC}) = 1/2 \vec{RC}$ és hasonlóan $\vec{ON} = 1/2 \vec{SC}$ Így feladatunkkal egyenértékú, ha az RC és SC távolságok összegének maximumát keressük, ahol ABRS az AB oldalra kifelé állított négyzet. Rögzítsük a háromszög AC oldalát. ( 2. ábra ) Ekkor B a C körüli r₁=a sugarú k₁köríven mozoghat, 90 fokos C-nél levő szöghöz tartozó helyzete legyen B₀ , egy másik helyzete B₁ . Legyen ACGH az AC egyenes B₀ -t tartalmazó olalán állított négyzet. S-et úgy kapjuk, hogy B-t A körül óramutató járás irányában ( negatív irány ) 90 fokkal elfordítjuk, S rajta van a H középpontú a sugarú k₂ körön, B₀-nak ill. B₁ -nek megfelelő helyzete S₀ ill. S₁ . R-et B-nek A körüli 45 fokos $\sqrt 2$ nagyítású nyújtva forgatásával kapjuk, R rajta van a G középpontú $\sqrt{2}a$ sugarú k₃ körön, B₀-nak ill. B₁ -nek megfelelő helyzete R₀ ill. R₁ . RC akkor a leghosszabb, ha R k₃ és a CG egyenes R^* metszéspontjába kerül. Ekkor R₀GR^* szög 45 fokos, ez B-nek arra a B^* helyzetére fordul elő, ha a B₀CB^* szög 45 fokos, vagyis az ACB szög 135 fokos. Hasonlóan SC akkor a leghosszabb, ha S k₂ és a CH egyenes S^* metszéspontjába kerül. Ekkor S₀HS^* szög 45 fokos, tehát SC is akkor a leghosszabb, ha B B^* -ban van. Ezért az RC és SC távolságok összegének maximuma az ACB szög 135 fokos értékénél adódik. Ez a maximális távolságösszeg az ábrából leolvashatóan $l_{max} = a + \sqrt 2 b + \sqrt 2 a + b= ( a + b ) ( 1 + \sqrt 2 )$ . Eredeti feladatunk maximális távolságösszege ennek a fele.

Előzmény: [701] elrond16, 2012-02-27 16:33:37

[701] elrond16

2012-02-27 16:33:37

Sziasztok!

Engem nagyon erdekelne a B.4408-as feladat megoldasa. Ha esetleg valaki beirna, vagy elkuldene nekem a megoldasat nagyon orulnek! Koszi

[700] Róbert Gida	2012-02-15 01:12:29
Ok, így már értelek. Amúgy lényegében ugyanez az én bizonyításom is, csak kissé hosszabban elmondva.
Előzmény: [699] Fálesz Mihály, 2012-02-14 23:31:01

[699] Fálesz Mihály

2012-02-14 23:31:01

Az A.545. megoldása két becslésből áll:

$\frac{a^2-b^2}2 \le [a+b,a-b] \le b^2-1.$

Mindkét egyenlőtlenség onnan jött, hogy a kisebbik szám osztója a nagyobbiknak. Ha valamelyik esetben nincs egyenlőség, akkor az arány legalább 2, és az is igaz, hogy a²-b² $\le$ b²-1.

Előzmény: [697] Róbert Gida, 2012-02-14 17:46:12

[698] Róbert Gida	2012-02-14 18:51:01
Javítás: (a+b,a-b)=e.
Előzmény: [697] Róbert Gida, 2012-02-14 17:46:12

[697] Róbert Gida

2012-02-14 17:46:12

Hát nem látható. Két feladatot összetéve: $b\sqrt 3 -1<a<b\sqrt 3$ , illetve még azt is bizonyította, hogy a² $\le$ 3b²-2, de még ezekből sem következik, hogy a²=3b²-2 lehet csak.

De valóban kijön egy kis munkával: A545. megoldásából: b²-1 többese [a+b,a-b]-nek, így alkalmas pozitív g egésszel: b²-1=g*[a+b,a-b], továbbá (a+b,a-b)=2 miatt az is igaz, hogy $[a+b,a-b]=\frac {a^2-b^2}{e}$ . Azaz a kettő egyenletből: $\frac{b^2-1}{g}=\frac{a^2-b^2}{e}$ . Itt e=1,2 lehet csupán A545 szerint.

e=1 esetén kapjuk: b²-1=g(a²-b²), ebből: $a^2=\frac {g+1}{g}b^2-\frac {1}{g}<2b^2$ , amiből: $a<b\sqrt 2$ , ami ellentmondás lesz $a>b\sqrt 3-1$ -gyel, ha b>3.

e=2-nél hasonlóan, 2(b²-1)=g(a²-b²), amiből: $a^2=\frac {g+2}{g}-\frac {2}{g}<2b^2$ , ha g>1, ami megint ellentmondás. Ha g=1, akkor meg 2(b²-1)=a²-b², azaz a²-3b²=-2, és pont ezt kellett bizonyítani. (A551 miatt ez mindig megoldás).

A végtelen leszállást meg úgy értettem, hogy a feladatot végtelen leszállással bizonyítsuk be, hogy még az is kijöjjön, hogy nincs más megoldás.

Előzmény: [696] Fálesz Mihály, 2012-02-14 09:21:43

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?