Fórum: Projektív geometria

Javítom a #132-es hozzászólásomat: dottak a (véges vagy végtelen) projektív térben az $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ és az $\displaystyle A_2B_2C_2D_2$ tetraéderek. Legyen $\displaystyle a=A_1A_2$, $\displaystyle b=B_1B_2$, $\displaystyle c=C_1C_2$, $\displaystyle d=D_1D_2$. Legyen $\displaystyle a_0$ a $\displaystyle B_1C_1D_1$ sík és a $\displaystyle B_2C_2D_2$ sík metszésvonala, $\displaystyle b_0$ a $\displaystyle A_1C_1D_1$ sík és a $\displaystyle A_2C_2D_2$ sík metszésvonala, $\displaystyle c_0$ a $\displaystyle A_1B_1D_1$ sík és a $\displaystyle A_2B_2D_2$ sík metszésvonala, $\displaystyle d_0$ a $\displaystyle A_1B_1C_1$ sík és a $\displaystyle A_2B_2C_2$ sík metszésvonala. Az $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ és az $\displaystyle A_2B_2C_2D_2$ tetraéderek csúcsra nézve perspektív, ha az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$ egyenesek egy pontban metszik egymást. Az $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ és az $\displaystyle A_2B_2C_2D_2$ tetraéderek oldallapra nézve perspektív, ha az $\displaystyle a_0$, $\displaystyle b_0$, $\displaystyle c_0$, $\displaystyle d_0$ egyenesek egy síkban vannak. Igaz-e, hogy az az $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ és az $\displaystyle A_2B_2C_2D_2$ tetraéderek pontosan akkor csúcsra nézve perspektívek, amikor oldalra nézve perspektívek? Mindenki segítségét előre is köszönöm. Bertalan Zoltán.

Nekem annak idején úgy tanították, hogy egy $\displaystyle Z_p$ felettt értelmezett véges projektív síknak $\displaystyle p^2+p+1$ darab pontja és $\displaystyle p^2+p+1$ egyenese van, ahol $\displaystyle p$ egy prímszám, ekkor $\displaystyle Z_p$ egy prímtest. Ugyanakkor vannak $\displaystyle p^k$ elemű testek is. Az ilyen testek felett is értelmezhetőek véges projektív síkok vagy terek?

Adottak a (véges vagy végtelen) projektív térben az $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ és az $\displaystyle A_2B_2C_2D_2$ tetraéderek. Legyen $\displaystyle a=A_1A_2$, $\displaystyle b=B_1B_2$, $\displaystyle c=C_1C_2$, $\displaystyle d=D_1D_2$. Legyen $\displaystyle a_0$ a $\displaystyle B_1C_1D_1$ sík és a $\displaystyle B_2C_2D_2$ sík metszésvonala, $\displaystyle b_0$ a $\displaystyle A_1C_1D_1$ sík és a $\displaystyle A_2C_2D_2$ sík metszésvonala, $\displaystyle c_0$ a $\displaystyle A_1B_1D_1$ sík és a $\displaystyle A_2B_2D_2$ sík metszésvonala, $\displaystyle d_0$ a $\displaystyle A_1B_1C_1$ sík és a $\displaystyle A_2B_2C_2$ sík metszésvonala. Az $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ és az $\displaystyle A_2B_2C_2D_2$ tetraéderek csúcsra nézve perspektív, ha az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, $\displaystyle d$ egyenesek egy pontban metszik egymást. Az $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ és az $\displaystyle A_2B_2C_2D_2$ tetraéderek oldallapra nézve perspektív, ha az $\displaystyle a_0$, $\displaystyle b_0$, $\displaystyle c_0$, $\displaystyle d_0$ egyenesek egy pontban metszik egymást. Igaz-e, hogy az az $\displaystyle A_1B_1C_1D_1$ és az $\displaystyle A_2B_2C_2D_2$ tetraéderek pontosan akkor csúcsra nézve perspektívek, amikor oldalra nézve perspektívek? Mindenki segítségét előre is köszönöm. Bertalan Zoltán.

Nem baj, ha a maradék három metszéspontpár képe képzetes, a másik két képzetes metszéspont egyenese akkor is a hatványvonal.

Nem ismerem nagyon a komplex projektív síkot (mondhatjuk hogy semennyire). Létezik olyan projekció amelyik a két pontot a kívánt helyre viszi, és a maradék 3 metszéspontpár is képe is mind valós?

Vegyük azt a három harmadrendű görbét, ami egy kúpszeletből és a másik kettő másik két metszéspontját összekötő egyenesből áll, és alkalmazzuk a Cayley-Bacharach tételt.

(Ez persze ugyanaz a megoldás, csak más tájszólásban.)

Komplex projektív síkon transzformáljuk a 2 közös pontot az abszolút képzetes körpontokba. Ekkor a kúpszeletek képei körök, a további metszéspontok összekötő egyeneseinek képei ezek páronként vett hatványvonalai.

Ki milyen bizonyításokat és eszközöket ismer arra az állításra, hogy:

Ha adott három kúpszelet 2 közös ponttal és páronként 4-4 metszéssel, akkor a másik 2-2 metszéseket összekötő egyenesek (3 db) konkurrensek?

Azt hiszem, az állítás kimondható n dimenzióba, n+2 csúccsal, ugyanígy.

Illetve hogy a bizonyításom is működik, vagyis az állítás n-1 dimenziós gömbi esetéből következik az n dimenziós euklideszi esete.

Ezt érdemes lehet mindenkinek végiggondolni mondjuk n=4-re, vagy tetszőleges n-re; nagyon sok különböző dimenziós objektum (különböző dimenziós macskák?) szerepel benne, azok látásában segíthet egy ilyen állítás véggigondolása.

Talán az is igaz, hogy az n-1 dimenziós gömbi esetből ugyanígy, nehézség nélkül következik az n dimneziós gömbi eset. Ekkor indukcióval adódna a bizonyítás rögtön a magasabb dimenziós euklideszi terekre is, mindenféle egyenlet vagy számolás nélkül. (Ez a szép álom.)

.. mindamellett nem tudom hogy van-e értelme n dimenziós gömbi geometriában mondjuk vetítésekről vagy beírt gömbökről beszélni, a kereső szerint nem szokott senki. (Esetleg sokkal általánosabban, egyszerre kezelve mindenféle geometriákat, köztük a gömbit is.)

Az A.678 egy megoldása lehet:

* belátom a tétel síkbeli változatát gömbre

* álmomban három macska vagyok, és egyszerre beleülök az A,B,C pontokba. Például az A pontban egy gömböt látok, rajta a B,D,C,E négyszöggel (vagyis AB,AD,AC,AE félegyenesek a pontok)

* Ha ABCDE érintőötszög, akkor az A-ban ülő macska számára BDCE érintőnégyszög, és, BCD és BCE beírt körei érintik egymást. Ugyanez a többi macskára, tehát ABCD és ABCE beírt gömbjei is érintik egymást. A másik irány ugyanígy megy, mindhárom macskának a négyszöge érintőnégyszög, így ABCDE-nek van 6 lapját érintő gömbje (hiszen tetszőleges 5 laphoz van)

...

Bámulatos mennyit fejlődött a geogebra, nagyon szépen működik* már térben is a random kattintgatós, mértanihelyezős, szélességi kereséssel rejtett összefüggések után kutató megoldás.

Például már minimális időigényű az a szerkesztés, hogy ABCD fix, és egy, a három (két dimenziós) oldalt érintő gömb mozoghat a D középpontú nagyítás hatására, és akkor mi lesz az E pont mértani helye, ha E az AB, AC, BC egyeneseken átmenő, a gömböt másik oldalon érintő síkok metszése.

És azt sem nehezebb kirajzoltatni hogy az olyan E pontok mértani helye hol van, amikor egy adott P $\displaystyle \in$ ABC ponton átmenő érintő gömböket akarunk hogy beírt gömbök legyenek.

"Nyilván" mind a kettő azonos, és méghozzá egy térbeli másodrendű görbe (például az A,B,C csúcsokból kiinduló másodrendű kúpok (?) metszete, vagy akárhogy lehet látni)

(ezt csak azért írtam, mert lehet hogy hasznos lesz későbbre megjegyezni, mint térbeli mértani hely, ki tudja? Még ha most konkrétan nem is kell)

(*jelenleg nekem picit bugos a kirajzolás, de lehet hogy a pár verzióval régebbi/újabb már/még nem az)

(Oké, nagyon szépen le van vezetve hogyan lehet rájönni, el voltam foglalva a korábbi gondolatommal, elfelejtettem frissíteni.

Ahogy az is valószínű, hogy lényegében ugyanaz a mennyiség (még ha elsőre nem is néz ki olyan mennyiségnek, amelyik tipikusan meg szokott maradni projekció során).)

Legkönnyebben talán úgy látható be, hogy minden involúció a körön (vagy legalábbis minden centrális vetítésből származó involúció) egyben egy inverzió is a síkon, és mint ilyen, kettősviszonytartó.

– – – – –

Másik projektív megoldás az A676-re: vigyük a vízszintes egyenest a végtelen távoli egyenesbe, a körből meg legyen az 1/x hiperbola. Ekkor a feltételből az lesz, hogy az egyenesek legyenek mindig párhuzamosak. Erre jó $\displaystyle f$ az $\displaystyle f(x,y)=x$, azaz a hiperbola pontjainak x koordinátája. (Ezt az állítást az ember véletlenül ismeri, mert a Viéta-formulák alkalmazásakor szerepelt mint példa.)

De vajon hogyan lehet ilyen függvényt megtalálni, ha az ember nem ismer egyet?

Ilyen formában nem igaz, sőt: ha $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$, $\displaystyle D$, $\displaystyle X$ egy $\displaystyle k$ kúpszelet pontjai, akkor $\displaystyle O$ akkor és csak akkor illeszkedik $\displaystyle k$-ra, ha $\displaystyle (XA,XB,XC,XD)=(OA,OB,OC,OD)$.

A megoldásban azonban úgy látom, kicsit másról van szó. Itt a kör tetszőleges $\displaystyle X$ pontjának az $\displaystyle MX$ egyenes és a kör másik közös pontját megfeleltető leképezésről van szó. Ez egy involúció a körön, így valóban kettősviszonytartó.

Ezt a legkönnyebben talán úgy láthatjuk, hogy ez annak a centrális kollineációnak a leszűkítése a körre, aminek a centruma $\displaystyle M$, a tengelye $\displaystyle M$ polárisa ($\displaystyle m$), és minden $\displaystyle X$ pont képe az $\displaystyle M$-re és $\displaystyle m\cap XM$-re vonatkozó harmonikus társa. (Ez tehát az $\displaystyle M$ centrumú $\displaystyle m$ tengelyű harmonikus homológia, ami invariánsan hagyja a kört.)

A.676. megoldásában egy, a körön kívüli pontból történik centrális vetítés.

Igaz-e, hogy ha $\displaystyle A,B,C,D\in k$ és $\displaystyle O$ egy $\displaystyle k$-ra nem illeszkedő pont, akkor

$\displaystyle (ABCD)=(OA,OB,OC,OD)$

teljesül? Ha igen, miért?

A kétköpenyű hiperboloid a gömbbel egy projektív osztályban van. Így kétköpenyű hiperboloid esetén elég annyit mondani, hogy egy projektivitással gömbbe transzformáljuk a hiperboloidot, és így a problémát visszavezettük gömb esetére. Ott pedig láttuk, hogy igaz az állítás. Ez az érvelés persze egyköpenyű hiperboloid esetén nem működik.

Ó, de bonyolult ez :s Abban sem vagyok biztos, hogy elhiszem-e.

Amire én gondoltam az sokkal primitívebb: $\displaystyle s$ felületből $\displaystyle p$ sík kimetszi $\displaystyle c$ alakzatot, $\displaystyle P$ pontból vetítek, $\displaystyle \varphi()$-vel.

$\displaystyle P$-hez létezik egy $\displaystyle k$ sík, hogy minden $\displaystyle P$-n átmenő $\displaystyle e_i$ egyenesre $\displaystyle (P,e_i \cap k,e_i \cap s,e_i \cap s)=-1$, hiszen bármilyen, $\displaystyle P$-n átmenő síkban az ilyen pontok halmaza egy egyenes.

Bármely $\displaystyle A,B \in s$ -re $\displaystyle AB \cap \varphi(A) \varphi(B) \in k$, ez is a $\displaystyle PAB$ síkra ismert.

Azaz metsző sík és a poláris sík metszetegyenese, illetve egy pont képe már meghatározzák a síkot, amiben a többi, képként előálló pont benne kell legyen.

(egy másik, amire gondoltam, hogy talán van olyan metrika, ahol az adott hiperboloid egy vektoros egységgömb, és akkor be lehet vezetni az inverziót, ami síkokból egymással középpontosan hasonló hiperboloidokat csinál (amelyek metszetei síkok) de még várni kell néhány évet míg belefejlesztik ezeket a gebrába, addig nehéz ilyet játszani.)

Igaz. A hiperboloid egy síkmetszete másodrendű görbe, ezt a tér egy tetszőlegs pontjából vetítve egy (másodrendű) kúpot kapunk. Ennek a kúpnak a hiperboloiddal való áthatása adja a keresett ponthalmazt. Mind a kúp, mind a hiperboloid másodrendű felület; az áthatásuk negyedrendű térgörbe. Ennek a térgörbének egy komponense az eredeti síkmetszet (másodrendű), így a negyedrendű térgörbénk két másodrendű görbére esik szét. Tehát a keresett ponthalmaz is másodrendű görbe, vagyis síkbeli.

Egy gömböt ha elmetszünk egy síkkal, majd a kapott síkmetszetet egy tetszőleges pontból visszavetítjük a gömbre, szintén egy síkban levő pontokat kapunk.

Igaz-e ugyanez hiperboloidra?

A harmadrendű görbék algebrai tárgyalásáról én Robert Bix: Conics and cubics című könyvét szeretem; középiskolás előismeretekkel megérthető, mégis eljut az algebrai görbékkel kapcsolatos legfontosabb tételekig, a feladatok között pedig sok geometriai alkalmazás van.

Az ott szereplő 8.4. tétel:

Egy harmadrendű görbe akkor és csak akkor szinguláris és irreducibilis, ha az alábbiak valamelyikébe transzformálható:

$\displaystyle y^2=x^3$,

$\displaystyle y^2=x^2(x+1)$,

$\displaystyle y^2=x^2(x-1)$.

Ez igy utolag elegge trivialis, ha lett volna szabad 20 percem, (vagy tudom elore, hogy konnyu), en is megoldom. Ez picit azert gaz :S Azert koszonom szepen :)

Viszont kell meg hozza az, hogy a szingularis harmadrendu gorbek atprojektalhatoak egymasba, peldaul Descartes levelbe barmelyik, es az barmelyikbe, mar ha ez igaz egyaltalan. Azt hiszem, ehez mar csak algebra kell. Valakinel Bronstejn nem irja, hogy milyen alaku az egyenletuk?

Legyen $\displaystyle O$ az inverzió középpontja - a harmadrendű görbe szinguláris pontja - és $\displaystyle P$ a harmadrendű görbe kiválasztott pontja (amiből önmagára vetítjük). Azt kell belátni, hogy ha $\displaystyle X$ a görbe egy tetszőleges pontja, és $\displaystyle X'$ a $\displaystyle PX$ egyenes és a görbe harmadik metszéspontja, akkor a $\displaystyle PX$-nek $\displaystyle PX'$-t megfeleltető leképezés (kettősviszonytartó) involúció.

Alkalmazzuk az említett inverziót: legyen $\displaystyle P$ inverze $\displaystyle P_i$, a görbén választott $\displaystyle X$ pont inverze $\displaystyle X_i$. Ekkor az $\displaystyle X'$ pont $\displaystyle X'_i$ inverzét úgy kapjuk, hogy az $\displaystyle O$, $\displaystyle P_i$, $\displaystyle X_i$ pontokra illeszkedő kör és a harmadrendű görbe inverzeként kapott $\displaystyle k$ kúpszelet negyedik közös pontját megkeressük. Azt kell belátni, hogy ez az $\displaystyle X_i\mapsto X'_i$ megfeleltetés kettősviszonytartó, ebből ugyanis az inverzió kettősviszonytartása miatt már következik az állítás.

Ismert - lásd: Klug Lipót: A projektív geometria elemei, 218. oldal - hogy "egy kúpszeletsor bármely $\displaystyle k$ kúpszeletet, mely a kúpszeletsor két alappontján áthalad, egy involúciós pontsor kapcsolt pontpárjaiban metsz". Ezt a tételt alkalmazva az $\displaystyle O$, $\displaystyle P_i$ pontok által meghatározott hiperbolikus körsorra mint kúpszeletsorra, és a $\displaystyle k$ kúpszeletre, éppen az állításunkat kapjuk.

vagy: hogy kell ezt megfogalmazni angolul, hogy a mathoverflowon megértsék?

Ha van egy szinguláris harmadrendű görbém, (például egy kúpszeletet leinvertálok egy pontjára) azt az egyik pontjából önmagára vetítem, akkor ez a vetítés egy kettősviszonytartó involúciót határoz meg a szinugláris pontot a harmadrendű görbével összekötő sugársoron. Miért?

*tengelyevel

Mi a helyzet, ha a ket adott metszespont altal meghatarozott egyenes parhuzamos a kupszelet valamely fotengelyevel?