Fórum: "ujjgyakorlatok"

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[132] lorantfy

2004-03-23 10:47:25

40. feladat megoldása: Hát egyenlő oldalú nem lehet a $\Delta$ mert akkor a nevező 0 lenne. Egyenlő szárú is csak úgy, ha b az egyik szár. Kicsit átalakítva:

(a²-c²-b²)(a+c)²=0

Így aztán derékszögű lesz a $\Delta$ , az átfogója: a.

Előzmény: [131] Suhanc, 2004-03-20 15:48:51

[131] Suhanc

2004-03-20 15:48:51

Kedves Veresh!

Köszönöm a megoldást!:) Az esetszétválasztás szerintem nem szükséges, elég azt mondani, hogy "végtelen sok ilyen tulajdonságú szám van, és csak véges sok maradék osztály..." de a Te megoldásod ezt sokkal elegánsabban tálalja.

Egy matematika tesztverseny 10. osztályos feladatsorának feladata volt az alábbi feladat. Nem bonyolult, mégis szép, ahogy csavargatod, hogy kijöjjön a kívánt eredmény...:)

40.Feladat: Egy háromszög a, b, c oldalaira teljesül, hogy $\frac {3b^2(a-c)^2+12ab^2c}{a^4+2a^3c-c^4-2ac^3}=3$ Mit mondhatunk el ekkor a háromszögről?

Előzmény: [130] veresh, 2004-03-15 23:13:30

[130] veresh

2004-03-15 23:13:30

39. feladat megoldása

Legyen n=123456789. Tekintsük a következő sorozatot:

a₁=1, a₂=11, a₃=111, ..., a_n=1...1

(1) Ha

$\exists$ i $\in$ {1,...,n}: n|a_i,

akkor készen vagyunk.

(2) Ellenkező esetben (legfeljebb) n-1 maradékosztály van. És mivel a sorozat n tagú, ezért a skatulya-elv szerint van a sorozatnak két olyan tagja, amely ugyanabba a maradékosztályba tartozik; formálisan:

$\exists$ i>j: a_i $\equiv$ a_j(mod n) <==> n|(a_i-a_j)

a_i-a_j = 1...10...0 = 1...1^.10^j

(ahol i-j db. 1-es és j db. 0 számjegy van). És mivel

$\forall$ j $\in$ N: (n,10^j) = (3²^.3607^.3803,10^j) = 1

Ezért n|1...1 (i-j db. 1-es). Azaz

$\exists$ k $\in$ N: n^.k=1...1

Előzmény: [129] Suhanc, 2004-03-15 20:17:43

[129] Suhanc

2004-03-15 20:17:43

Kedves László!

Köszöm szépen! Még pár év fórum, és megismerem az egész klaviatúrát...:)

Ez a feladat szerintem nagyon tanulságos, és szép:

39.Feladat. Igazoljuk, hogy 123456789-nek van olyan pozitív egész többszöröse, amelyben csupa 1-es szerepel!

Előzmény: [128] lorantfy, 2004-03-15 12:28:59

[128] lorantfy

2004-03-15 12:28:59

Kedves Suhanc!

Kösz a megoldást! Sokszor jól alkalmazható trükk prímszámos feladatokban, hogy a 3-nál nagyobb prímszámok p=6k $\pm$ 1 esetleg p=12n $\pm$ 1 vagy p=12n $\pm$ 5 alakban írhatók!

Az oszhatóság jelet simán be lehet gépelni: AltGr+w kombinációval.

Előzmény: [127] Suhanc, 2004-03-15 08:19:13

[127] Suhanc

2004-03-15 08:19:13

Megoldást írok László 38. feladatára:

Mivel p>3, és prím, ezért nem osztható 3-mal. Négyzetszámok 3-as mardéka 0 vagy 1 lehet, ez esetben tehát csak 1. Tehát p²-1 osztható 3-mal. Mivel p>3vés prím, ezért páratlan. Páratlan négyzetszámok 8-as maradéka 1. Tehát p²-1 osztható nyolccal is. Mivel 8 és 3 relatív prímek, ezért p²-1 osztható 24-gyel.

Lenne egy prózaibb kérdésem: László, az oszthatóságjelet hogyan "gyártottad"? :)

Előzmény: [126] lorantfy, 2004-03-15 00:30:19

[126] lorantfy	2004-03-15 00:30:19
38. feladat: Bbh. ha p>3 prímszám, akkor 24 \| p²-1 -nek!

[125] lorantfy	2004-03-11 22:21:42
Kedves Attila! Kösz a megoldást! Nehezítsük egy kicsit a feladatot: 37.b feladat: Mit mondhatunk az osztási arányokról, ha ABC egyenlő szárú háromszög és csúcsszöge $\alpha$ ?

Előzmény: [124] jenei.attila, 2004-03-11 15:02:18

[124] jenei.attila	2004-03-11 15:02:18
Még egyszerűbben: BD párhuzamos AC-vel, és fele akkora, ezért BF is fele akkora, mint FC.

[123] jenei.attila	2004-03-11 14:57:35
Vektorokkal megoldva a feladatot, legyen AB=a, AC=b (A-ból B-be mutató vektorról vab szó, csak nem tudok felső nyilat írni). A BC oldal felezőpontja legyen H. Ekkor HD vektor=a/2, és AD vektor=a+b/2. Innen már látszik, hogy az AE és AD szakaszok a BC oldalt harmadolják. AF= 2/3a+1/3b.
Előzmény: [122] lorantfy, 2004-03-11 01:29:10

[122] lorantfy

2004-03-11 01:29:10

37. feladat

ABC egyenlő oldalú $\Delta$ BC oldala fölé félkört rajzolunk és ezt D, E pontokkal három egyenlő részre osztjuk. Milyen arányban osztja AD és AE egyenes a BC oldalt ?

[121] Hajba Károly

2004-03-02 20:43:48

Kedves Csimby!

Az "átlós kérdés"-nél arra gondoltam, hogy ha egy pont mindkét koordinátája végtelen, elvileg addig már végtelen sok piros vagy kék pontnak kellene lennie, így csorbul a véges feltétel.

A b. feladatrésznél is hasonló lehet a megoldás, csak itt a pontok gyakorlatilag a végtelenségig besűríthetők. Így nem biztos, hogy létezik megoldás.

(Az óvatosságom oka, hogy a végtelennel való műveletekben nem vagyok otthon, nincs kellő gyakorlatom ezzel kapcsolatban.)

Előzmény: [120] Csimby, 2004-03-02 20:23:14

[120] Csimby

2004-03-02 20:23:14

Kedves Onogur!

A megoldásod jó, én is ezt ismertem, bár biztosan(?) van még. A 4 darab átlós irányra vonatkozó kérdésedet nem teljesen értem (a 45°-os egyenesekre gondolsz? és mi a kérdés/feladat?). A b. feladatről mit gondolsz?

[119] Hajba Károly	2004-03-02 13:07:29
Kedves Csimby! Én a megoldást az alábbi ábra szerint tudom elképzelni. Véges mértékben lehet X-Y irányban tili-tolizni, ill. a színhatár pontjai (mely most kék) akár véletlenszerűen is szinezhetők. (Habár a 4 db átlós irányú végtelenek helyén nem tudom mi a megoldás? :o) HK

Előzmény: [118] Csimby, 2004-03-01 00:04:18

[118] Csimby

2004-03-01 00:04:18

36.feladat Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak véges sok piros rácspont legyen.

a: Rácspontnak a sík olyan pontjait nevezzük, amelyeknek mindkét koordinátája egész szám.

b: Rácspontnak a sík olyan pontjait nevezzük, amelyeknek mindkét koordinátája racionális szám.

[117] Máté2	2004-02-24 17:39:17
35. feladat Legyen a H={1, 2, 3, ..., 2000, 2001 } halmaz 77 elemű részhalmazai közül azoknak a száma, amelyekben az elemek összege páros, S-sel egyenlő, és azoknak a száma, amelyekben az elemek összege páratlan, N-nel egyenlő. Melyik nagyobb: S vagy N? És mennyivel?

[116] zzz

2004-02-24 12:31:49

33. megoldása

Tudjuk, hogy f(0)=2. Tegyük fel, hogy f(x) periodikus. Ekkor van olyan x₀ $\ne$ 0, hogy f(x₀)=2 .

Ez azt jelenti, hogy cos (x₀)=1 és $\cos(x_0\sqrt{(n^2+1)})=1$ ,

azaz vannak olyan k₁, k₂ nem nulla egészek, hogy x₀=2k₁ $\pi$ és $x_0\sqrt{(n^2+1)}=2k_2\pi$ .

Innen nyerjük, hogy $\sqrt{(n^2+1)}=\frac{k_2}{k_1}$ .

Ez ellentmondás, hisz tudjuk (könnyen igazolható), hogy $\sqrt{(n^2+1)}$ irracionális.

Előzmény: [113] Máté2, 2004-02-23 09:23:06

[115] Csimby

2004-02-23 23:09:01

34. feladat megoldása: A négyjegyű számunk 9-cel osztva adjon k maradékot, ekkor a számjegyeinek az összege is k maradékot ad 9-cel osztva a 9-cel való oszthatóság miatt (10,100,1000... 1 maradékot ad 9-cel osztva -> egy szám annyi maradékot ad 9-cel osztva mint amennyit a számjegyeinek az összege). Tehát ha a 4-jegyű számunkból kivonjuk a számjegyeinek az összegét, akkor egy 9-cel osztható számot kapunk. 2+3+4+5+6=20, ez 9-cel osztva 2 maradékot ad, -> a 2-est írtuk hozzá a számhoz.

[114] lorantfy

2004-02-23 21:56:48

Kedves Fórumosok!

Legyen Máté2 [112]-ben leírt feladata a 33. feladat és ezután:

34. feladat: Egy négyjegyű számból elvettem számjegyei összegét, hozzáírtam egy számjegyet, majd sorbarendeztem a számjegyeket és így a 23456 számot kaptam.

Melyik számjegyet írtam hozzá?

[113] Máté2	2004-02-23 09:23:06
Le hagytam a végéről hogy: függvény periódikus.
Előzmény: [112] Máté2, 2004-02-23 09:21:11

[112] Máté2	2004-02-23 09:21:11
Köszönöm a megoldást. Lenne még egy feladatom Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan n pozitív egész, amelyre a valós számok halmazán értelmezett f(x)= cosx + cos (x*négyzetgyök alatt: (n² +1))
Előzmény: [111] lorybetti, 2004-02-22 23:23:42

[111] lorybetti

2004-02-22 23:23:42

Kedves Máté2 és Fórumosok!

Már több feladat is volt mostanában a Kömal pontversenyben a $\Delta$ hozzáírt köreivel kapcsolatban, így ez a feladat a jól megismert összefüggések használatával megoldható:

$r_a=\frac{T_\Delta}{(s-a)} ,\quad r_b=\frac{T_\Delta}{(s-b)}$

$T_\Delta=r_a \cdot r_b= \frac{T_\Delta^2}{(s-a)(s-b)}$

$T_\Delta=(s-a)(s-b)=\frac{c^2-(b-a)^2}{4}=$

a cos-tételt és a $\Delta$ területképletet alkalmazva:

$=\frac{a^2+b^2-2ab\cos\gamma-b^2+2ab-a^2}{4}=\frac{ab\sin\gamma}{2}$

leosztva 2ab-vel:

sin $\gamma$ +cos $\gamma$ =1

mivel $\gamma$ egy $\Delta$ szöge, ezért: $\gamma$ =90^o

(érdemes volt a Tex-el dolgozni, így, hogy már a végeredményt is láttam)

Előzmény: [110] Máté2, 2004-02-22 21:59:03

[110] Máté2	2004-02-22 21:59:03
Megtudnátok oldani nekem ezt a feladatot Egy háromszög két kisebbik oldalát, a-t és b-t érintő hozzáírt körök sugarai r_a és r_b. A háromszög területe t=r_a*r_b. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?

[109] lorantfy

2004-02-10 08:18:20

32. feladat: Oldjuk meg a valós számok halmazán:

$\sin^2x\sin2x+\cos^2x\cos2x=\frac{1}{2}$

[108] lorantfy	2004-02-09 18:35:38
Kedves Zormac! Kösz a megoldást. A GEOMETRIA témában volt az említett feladat. Ha többet elárulok az ábráról akkor túl egyszerű lett volna, de Te jól értelmezted. Gratula!

Előzmény: [107] Zormac, 2004-02-09 17:04:03

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40]

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?