Fórum: "ujjgyakorlatok"

Itt egy érdekes adalék az eredeti problémához.

Legyenek a,b,c pitagoraszi számhármasok, azaz a²+b²=c². Ekkor

(ab)⁴+(ac)⁴+(bc)⁴=a⁴b⁴+c⁴(a⁴+b⁴)=a⁴b⁴+c⁴((a²+b²)²-2a²b²)=a⁴b⁴-2a²b²c⁴+c⁸=(c⁴-a²b²)²

Tehát a x⁴+y⁴+z⁴=t² egyenletnek végtelen sok megoldása van, ellentétben az x⁴+y⁴=t² egyenlettel,aminek egy sincs.

Igen, direkt szerepeltettem olyan számokat, amelyek utalnak taxicab-number-ekre, de ezt csak szándékos megtévesztésnek szántam :-), szerintem köbszámokhoz az egésznek nincs sok köze.

Természetesen próbálgattam. (A nemlineáris diofantoszi egyenletek elmélete tele van ad hoc módszerekkel, és szerintem a legnehezebb matematikák közé tartozik. Elképzelhető persze, hogy az algebrai görbék vagy varietások elméletével lehetne valamit mondani általában, de ehhez nem konyítok, messze meghaladja a képességeimet.)

Érdekes szám ez, főleg így rendszám alakba normálva :) A problémás modulus köbe többféleképp írható fel három pozitív köbszám összegeként?

A 13 honnan jött? Elkezdtél próbálgatni vagy van valami okosabb módszer?

Akkor én is generáltam egy egyenletet, ami megoldandó az egészek körében:

x⁴+y⁵+1=10³+9³.

Nem a kicsiség számít, hanem a maradékosztályok :)

Az egyenletnek nincs egész megoldása, ugyanis nézzünk mindent modulo 13:

egy negyedik hatvány 13-mal maradékosan osztva négyféle maradékot adhat, nevezetesen {0,1,3,9} valamelyikét,

egy harmadik hatvány 13-mal maradékosan osztva ötféle maradékot adhat: {0,1,5,8,12} valamelyikét,

viszont 19¹⁹ maradékosan osztva 13-mal 7-et ad.

És a 7 nem áll elő két olyan szám összegeként, amelyben az első tag az első halmazból, a második a másodikból van véve.

75. feladat.  Van-e egész számokból álló megoldása az  x⁴+y³=19¹⁹  egyenletnek? (Valamivel kisebb a jobb oldal, mint az előző feladatban:)

Izé, ezt zárójelezni kéne, vagyis 2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴= (-18796760)⁴+2682440⁴+15365639⁴= (-15365639)⁴+2682440⁴+18796760⁴= (-18796760)⁴+(-15365639)⁴+2682440⁴= (-2682440)⁴+15365639⁴+18796760⁴= (-18796760)⁴+(-2682440)⁴+15365639⁴= (-15365639)⁴+(-2682440)⁴+18796760⁴= (-18796760)⁴+(-15365639)⁴+(-2682440)⁴= 2061567⁴

Még néhány megoldást az első alapján könnyű találni, hiszen

2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴= -18796760⁴+2682440⁴+15365639⁴= -15365639⁴+2682440⁴+18796760⁴= -18796760⁴+-15365639⁴+2682440⁴= -2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴= -18796760⁴+-2682440⁴+15365639⁴= -15365639⁴+-2682440⁴+18796760⁴= -18796760⁴+-15365639⁴+-2682440⁴= 20615673⁴

Egy megoldást tehát találtunk, de ezzel nem szabad megelégedni. Most megkérdezem a kitűzőt, hogy árulja el az ÖSSZES TÖBBI megoldását az egyenletének, vagy mutassa meg, hogy nincs más :-)

Kedves Lajos!

Gratulálok! Erről van szó. A Fermat sejtés bizonyításakor komoly problémát jelentettek az Euler sejtést cáfoló számítógépes megoldások. Ezért ezeket meg lehet találni az interneten, vagy pl. Simon Signh: A nagy FERMAT sejtés c. könyvében.

2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴=20615673⁴

Á, némi internetes keresgélés után rátaláltam:

2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴=20615673⁴

Euler azt sejtette (miután már tudták, hogy az x³+y³=z³ egyenletnek csak triviális megoldásai vannak a természetes számok körében), hogy az analóg x⁴+y⁴+z⁴=w⁴ egyenletnek is csak triviális megoldásai vannak. Azonban a számítógépes korszakban kiderült, hogy tévedett, mert

95800⁴+217519⁴+414560⁴=422481⁴.

Azt sejtem, hogy csak akkor van megoldás, ha két szám 0, a harmadik pedig a megadott (vagy az ellentettje), de a Fermat egyenleten kívüli nevezetes, ehhez hasonló egyenlet nem jut eszembe.

Bocsánat Lajos! Ez a gyanútlan megoldó átverése. Nagyon nehéz, de lehet rá megoldást találni. Úgy kell elindulni, hogy elgondolkodsz milyen híres egyenlet jut róla eszedbe!

Nekem ez nehéznek tűnik, a jobb oldali 4. hatvány értéke túl nagy. Hogy lehet benne elindulni?

Úgy látszik mások nem járnak erre, vagy csak nincs kedvük beírni a megoldást.

Legyen egy kicsit nehezebb: 74. feladat: x<y<z egész számok, oldjuk meg az egyenletet!

x⁴+y⁴+z⁴=20615673⁴

Azt is mondhatod, de a három is logikus, ha ismered a pontos feltételt a prímtényezőkkel.

Na, ennek már több megoldása van. Pont annyival, mint ahányan mi vagyunk tesvérek :-) (ha csak a lényegesen kül. megoldásokat tekintjük).

Szerintem egy dologról beszélünk, pld tekintsük a b) változatot: x²+y²=1989

Eredetileg is sejtettem, csak nem állt össze a kép. Nem lenne helyesebb amúgy, ha azt mondanám, hogy 9-en vagyunk testvérek? :-) / már ha arra gondolok, amire Te /

A példa megoldására próbáltam célozni

Nem, egy húgom van, de még így is többen vagyunk, mint a feladat megoldásainak a száma :-) Amúgy miért kérded?

És hárman vagytok testvérek ?