Fórum: "ujjgyakorlatok"

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[57] Csizmadia Gábor	2003-12-24 00:23:11
1111 db bocsánat, nem 17., hanem 18.feladat!
Előzmény: [56] Csizmadia Gábor, 2003-12-24 00:21:56

[56] Csizmadia Gábor

2003-12-24 00:21:56

Először is mindenkinek Boldog Karácsonyt!

Egy kicsit még gondban vagyok a TeX-szel, ezért egy egyszerű szöveges feladatot írok le inkább, pedig most kaptam, és ki is találtam néhány szép feladatot.

17. feladat

Bizonyítsd be, hogy az a(n)=n. prímszám sorozat differenciasorozata nem periodikus.

(A diffenciasorozat - durván fogalmazva - az eredeti sorozat szomszédos elemeinek különbségéből álló sorozat, pl. az a(n)=n sorozatnak a(n)=1 a diff.sorozata)

[55] lorantfy	2003-12-24 00:16:18
17. feladat megoldása Elég azt belátnunk, hogy 4n⁴+1 nem prímszám, illetve nem egy prímszám hatványa. Ekkor ugyanis prímtényezői között van két különböző. 4n⁴+4n²+1-4n²=(2n²+1)²-(2n)²=(2n²+2n+1)(2n²-2n+1)=(2n(n+1)+1)(2n(n-1)+1) Ez két különböző páratlan szám szorzata. Tehát készen vagyunk, mert vagy mindkettő prímszám, vagy van különböző prímtényezőjük. Érdemes megnézni hogyan alakul a 4n⁴+1 szám utolsó számjegye. Ha n nem 0-ra vagy 5-re végződik, akkor 5! Én szeretem az ilyen turkálós megoldásokat is. Jó lenne, ha valaki mondana valami egyszerű trükköt a megmaradt esetekre!

Előzmény: [54] Suhanc, 2003-12-23 10:33:26

[54] Suhanc

2003-12-23 10:33:26

Megoldást írok a 16. feladatra:

Mivel a;b;c;d;e pozitív egész számok, valamint abc=12 és cde=167 , ezekből következik, hogy c osztója 12-nek és 167-nek is. Mivel ezek a számok relatív prímek, íg c=1. Tehát ab=12 és de=167, valamint abcde=abde=12*167=2004

Egy régi feladat, szerintem szép megoldása van: (talán Arany Dani példa volt)

17. feladat Igazoljuk, ha n pozitív egész szám, és n $\ge$ 2, akkor a 4n⁴+1 mindig van két különböző pozitív prímosztója!

[53] lorantfy

2003-12-22 22:10:47

Kedves Károly!

Kösz az ügyes megoldást! (Egy egyszerű példának is lehet ügyes megoldása!)

Úgy látszik a fiatalok pihennek, vagy jobb szórakozást találtak a szünetben. Azért küldök egy villámpéldát – tényleg egyperces!

16. feladat: Az a,b,c,d,e pozitív egész számokról tudjuk, hogy abc = 12 és cde = 167. Mennyi lehet az abcde szorzat?

Előzmény: [52] Hajba Károly, 2003-12-22 00:09:49

[52] Hajba Károly

2003-12-22 00:09:49

Kedves László!

Vártam néhány napot, hátha valaki lecsap rá, így hát én adok a 15. feladatra megoldást.

A párhuzamos szelők miatt a B₁E és C₁D egyenesek éppen a CB szakaszfelező A₁ pontban metszik egymást. Ebből következik, hogy A₁B₁C₁ háromszög területe $\frac{T}4$ . Hasonló megfontolásokból következik, hogy a EDA₁ háromszög területe $\frac14*\frac14 = \frac{T}{16}$ . Így a keresett B₁C₁DE trapéz területe $\frac{3T}{16}$ .

Előzmény: [51] lorantfy, 2003-12-17 13:44:07

[51] lorantfy	2003-12-17 13:44:07
15. feladat: Az ABC $\Delta$ területe 1. Legyen AB felezőpontja C₁, AC felezőpontja B1, BB₁ felezőpontja D, CC₁ felezőpontja E. Mekkora a B₁C₁DE négyszög területe?

[50] lorantfy	2003-12-15 20:28:19
14. feladat megoldása: Legyen $AO = 1\implies AC=2,\quad OE = \frac12,\quad BC=\sqrt2$ AEO $\Delta$ $\sim$ ACF $\Delta$ , mert mindkettő derékszögű és van egy közös szögük. Így $\frac{AF}{CF}= \frac{AO}{EO}= 2$ AFB $\angle$ =45^o, mert középponti szögpárja 90^o. Tehát FG szögfelező ACF $\Delta$ -ben, így az AC átfogót 2:1 arányban osztja: $AG= \frac{4}{3} \quad GC= \frac{2}{3} \quad OG=AG-AO= \frac{1}{3}$ BOG $\Delta$ -ből $BG=\frac{\sqrt{10}}{3}$ A keresett arány: $\frac{BC}{BG}= \frac {3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}$

Előzmény: [49] Suhanc, 2003-12-13 22:23:02

[49] Suhanc

2003-12-13 22:23:02

14.

Szakköri feladat: volt, aki trigonometriával oldotta meg, volt, aki koordinátageometriával... elemi? (szerintem a legszebb)

Adott egy kör két, egymásra merőleges AC és BD átmérője; a kör középpontja O. OD szakasz felező pontja E. AE egyenese két pontban metszi a kört; ezek egyike A pont, a másik pont legyen F. BF szakasz AC átmérőt G pontban metszi. Mekkora BC és BG szakaszok aránya?

(Elnézést kérek mindenkitől, ehhez egy ábra is; sajnos ezt nem tudok készíteni.)

[48] Rácz Béla

2003-12-11 00:19:37

13.

Igaz-e, hogy ha egy n természetes szám minden d természetes számmal osztva kvadratikus maradékot ad (olyan maradékot, ami előáll, mint egy mégyzetszőám d-s maradéka), akkor n maga is négyzetszám?

(Ez már lehet, hogy nem ujjgyakorlat:) És ha ezt csak akkor tudjuk, ha d prímszám?

[47] Suhanc

2003-12-10 18:07:06

Kedves Attila!

Köszi a megoldást! Ez hamar megvolt! :)

Előzmény: [45] jenei.attila, 2003-12-10 12:46:50

[46] lorantfy	2003-12-10 14:19:59
Megoldás a 11. feladatra A háromszög területképletéből kifejezve: $bc= \frac{2T}{\sin \alpha}$ állandó. a²=b²+c²-2bccos $\alpha$ Tehát a² akkor minimális ha b²+c² minimális. Ezt csökkentketjük egy konstassal, a minimum helye nem változik: b²+c²-2bc=(b-c)² $\geq$ 0 Ez akkor minimális, ha b=c, vagyis ha a háromszög egyenlő szárú. $a=2b \sin \frac{\alpha}{2}=2\sin \frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{2T}{\sin \alpha}}$

Előzmény: [42] evilcman, 2003-12-07 17:15:46

[45] jenei.attila

2003-12-10 12:46:50

Kedves Suhanc!

Rendezzük át az egyenletet, és a jobboldalt alakítsuk szorzattá:

a²=b(b¹⁹⁹⁸-1)

Legyen p a b egy prím osztója. Ekkor p|a², ezért a² prím felbontásában p páros hatványon szerepel. De p nem osztója b¹⁹⁹⁸-1-nek, ezért p a b felbontásában is páros hatványon szerepel, vagyis b négyzetszám. Mivel a² és b is négyzetszám, ezért b¹⁹⁹⁸-1 is négyzetszám kell, hogy legyen. De b¹⁹⁹⁸ szintén négyzetszám, ezért csak b=1 lehet, amikor a=0.

Előzmény: [43] Suhanc, 2003-12-07 18:18:36

[44] Hajba Károly

2003-12-07 23:29:47

Kedves László!

Köszönet és gratula mindkét feladatnál (9., 10.) a szép bemutató ábrákért és a megoldásért.

Előzmény: [41] lorantfy, 2003-12-07 15:43:39

[43] Suhanc

2003-12-07 18:18:36

12. feladat

Mely a; b egész számokra teljesül az alábbi egyenlőség?

a²+b=b¹⁹⁹⁹

[42] evilcman

2003-12-07 17:15:46

11. feladat

Azon háromszögek közül, amelynek adott a területe és az egyik szöge, melyikben lesz az adott szöggel szemben lévő oldal a legkisebb? Mennyi lesz?

[41] lorantfy	2003-12-07 15:43:39
Kedves Károly! Megoldás a 10. feladatra: $T(negyzet)=1,\quad T(90^\circ haromszog)= \frac{1}{2},\quad T(60^\circ haromszog)= \frac{\sqrt3}{4}$ $T(90^\circ korcikk)= \frac{\pi}{4},\quad T(60^\circ korcikk)= \frac{\pi}{6},\quad T(30^\circ korcikk)= \frac{\pi}{12}$ $T(90^\circ korszelet)= \frac{\pi}{4}-\frac12$ $T(60^\circ korszelet)= \frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}$ $T(rogbilabda)=2T(90^\circ korszelet)= \frac{\pi}{2}-1$ $T(suveg)= T(30^\circ korcikk)+2 T(60^\circ korszelet)= \frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}$ $T(suveg)=\frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{2}$ $T_x=2T(suveg)-T(rogbilabda)= \frac{5\pi}{6}-\sqrt3-\frac{\pi}{2}+1=\frac{2\pi}{6}-\sqrt3+1$

Előzmény: [32] Hajba Károly, 2003-12-05 23:40:05

[40] lorantfy	2003-12-07 12:49:07
9.feladat megoldása: A keresett kisgömb középpontja egy szabályos tetraéder súlypontja, melynek csúcsai a nagygömbök középpontjai. A tetraéder oldalai 2R=2 egység hosszúak, magassága: $m= DO=2\frac{\sqrt6}{3} \qquad DS= \frac34m= \frac{\sqrt6}{2}$ A kisgömb sugara: $r=DS-R=\frac{\sqrt6}{2}-1$ . (Az ábrákat Laci fiam készítette)

Előzmény: [31] Hajba Károly, 2003-12-05 23:29:05

[39] lorantfy	2003-12-07 11:52:46
Egy felülnézeti kép:

Előzmény: [31] Hajba Károly, 2003-12-05 23:29:05

[38] lorantfy	2003-12-07 11:49:21
Kedves Károly és Fórumosok! Térbeli szemléltetés a 9. feladathoz.

Előzmény: [31] Hajba Károly, 2003-12-05 23:29:05

[37] Suhanc

2003-12-07 09:04:52

László 7b)feladatára a négyzetek:

2(x+1)²+2(z+1)²+(x+y+z)²+3(z+y/2)²+5(x+y/2)²=0

Ez csak akkor teljesülhet, ha minden tag 0. Ebből x=z=-1 így y=2 nek kell lennie, ami valóban jó megoldás.

[36] Kós Géza 2003-12-06 09:48:31

Kedves Suhanc,

$\ge$ = \ge, $\le$ = \le.

A képleteket egészben érdemes dollárjelek közé tenni, pl. $a^+2ab+b^2$ és nem $a^2$+2ab+$b^2$. A képleteken belül kicsit más a betűtípusok kezelése, a betűk alapértelmezésben dőltek, és a szóközök automatikusan kimaradnak.

Előzmény: [35] Suhanc, 2003-12-06 09:21:16

[35] Suhanc

2003-12-06 09:21:16

László 9a) feladatára van egy másfajta megoldásom:

Egy tétel kimodja, hogy a derékszögű háromszögben a befogók összege nem nagyobb az átfogó $\sqrt2$ szeresénél. Ezt az alábbi módon, indirekten bizonyíthatjuk:

TFH: a+b > $\sqrt2$ *c

Ekkor: a²+2ab+b² >2c²

Vagyis: a²+2ab+ b² > 2a²+2b²

Tehát: 0> a²-2ab+b²

0> (a-b)² Ez ellentmondás, tehát eredeti állításunk igaz volt. Vagyis, mivel meg van adva az átfogó, így a kerület legfeljebb ennek 1+ $\sqrt2$ szerese lehet, abban az esetben, ha a háromszög egyenlő szárú, így a-b=0.

(kérdés: a TeX-ben hol találom a >= jelet szépen?)

[34] Hajba Károly

2003-12-06 01:24:37

Megoldás László 9.b feladatára:

Legyen a kúp alapjának sugara egységnyi, magassága m. Legyen továbbá a henger sugara 0<x<1.

V_henger=x² $\pi$ m(1-x)= $\pi$ m(x²-x³)

V_henger^'= $\pi$ m(2x-3x²)=0

$x=\frac23$

$\frac{V_{henger}}{V_{ku'p}}=\frac{\pi m \bigg[\Big(\frac23\Big)^2-\Big(\frac23\Big)^3\bigg]}{\frac{\pi m}{3}} = \frac49$

Előzmény: [30] lorantfy, 2003-12-05 23:24:18

[33] Hajba Károly

2003-12-06 00:51:50

Megoldás László 9.a feladatára:

A háromszög kerülete:

K=1+sin $\alpha$ +cos $\alpha$

K'=cos $\alpha$ -sin $\alpha$ =0

cos $\alpha$ =sin $\alpha$

$\alpha$ =45°

Tehát, ami szemrevételezéssel is nyilvánvaló, az egyenlŐ szárú háromszögnek a legnagyobb a kerülete az egységnyi átfogójú derékszögű háromszögek közül.

Előzmény: [30] lorantfy, 2003-12-05 23:24:18

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40]

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?