Fórum: "ujjgyakorlatok"

Létezik olyan egyváltozós g polinom, hogy f(a,b,c)=g(a+b+c).

Legyenek a, b és c egész számok. Igazoljuk minél egyszerűbben, hogy a következő kifejezés is egész szám lesz:

.

Az írás leginkább csak az alapdolgokat tárgyalja. A karakterisztikus egyenlet gyökei stb. konjugált párok, így nem lesz sok baj a komplex képlettel sem, de ahogy Lóczi Lajos is mondta, a valós képlet (mivel ha nem is feltétlenül zárt alakban, de létezik --> binom. tétel) kinyerhető.

Természetesen. Én is így gondoltam. :-)

De hülyeség, hogy nem jutott eszembe. Köszönöm! Így már meg van...

"két mértani sor összege" helyett azt akartad mondani, hogy "két mértani sorozat összege" :)

Algebrai alakban adott komplex számokat (=a mértani sorozatok kvócienseit) át lehet írni trigonometrikus alakba.

Köszönöm a linket! Melyik fejezetre gondoltál? Mert én magamtól a másodrendű rekurziók között keresgéltem, de ott csak a "két mértani sor összege" típusú megoldást láttam ide illőnek, ami komplex végeredményt adott (nekem). Ezért is merült föl bennem a kérdés, hogy van-e ill. hogyan határozható meg a valós képlet.

Köszönöm a gyors választ! Azt még megkérdezhetem, hogy ez hogy jött ki? (Mi a "módszer"?) :-)

Orosz Gy.: Rekurzív sorozatok

Igen, én is látom, hogy kihagytam a rekurzióból, hogy csak n>2 egészekre igaz az állítás... :-)

Adott a következő sorozat:

a₁=1, a₂=3, a_n=2a_n-1-3a_n-2

A sorozat szemmel láthatóan csak valós (egész) elemeket fog tartalmazni. A kérdés: található-e a sorozathoz csak valós számokat használó explicit képlet? (Komplex számokat használó explicit képlet nyilván van, két mértani sor összegeként...)

Minden megoldási javaslatot (ill. végeredményt is) köszönettel fogadok!

Ez kicsit trollkodás, szerintem tudod, mire gondolok. Úgy értem, hogy két tétel akkor ekvivalens, ha "közvetlenül" következnek egymásból. A kitűzött feladat nyilván vitatható, ezért is fórumon érdemes megbeszélni.

Az egyikből következik, hogy 1=1, és abból, hogy 1=1 következik a másik...

Teljesen biztos vagy abban, hogy tételek körében értelmes ekvivalenciáról beszélni? Definícióknál szoktak, meg esetleg ha kikötöd, hogy milyen axiómákat szabad használni.

Az egyenlőtlenségek alkalmas alkalmazására + esetleg némi határértékszámításra gondolok, de az irracionális súlyokat szerintem most zárjuk ki.

Például az utolsó kettő helyettesítésekkel következik egymásból.

Nyilván (vagy nem) arra gondolok, hogy egyikből következik a másik, és a másikból az egyik levezethető.

Mit jelent az, hogy ekvivalensek egymással? Ha a valós számok axiómáit használhatom, akkor mindegyik állítás igaz, kész. Ha nem használhatom, akkor..?

Na, ez talán népszerűbb lesz. Tekintsük a következő egyenlőtlenségeket: AM-GM, Hölder, AM-QM, Titu-lemma, Cauchy.

a) Mutassuk meg, hogy utóbbi három ekvivalens egymással.

b) Igazoljuk, hogy utóbbi négy az elsőből következik.

c) Igaz-e, hogy mind az öt ekvivalens egymással?

Nincs sok érdeklődő, úgyhogy elmondom: osszuk el 10^12345678-at 10^12345678-1-gyel. Ha "kiepszilonozzuk" az ezeknél megszokott módon, láthatóan igaz lesz az állítás (pl. 0,999...=1 esetén). Másképpen: a, 2a, ..., ma teljes maradékrendszer modulo m, ha (a,m)=1.

Ez kicsit nehéz lesz a témához képest, de idevaló.

Nevezzük periódusnak egy végtelen, szakaszos tizedes törben fellelhető legrövidebb szakaszt. Elérhető-e egy pontosan 12345678 hosszú periódus?

Ez egyszerű. A Pitagorasz-tétel miatt azok a pontok, melyekből tB hoszú érintő húzható, a k O középpontjától messze lesznek. Azok a pontok, amelyek A-tól tA+tB távolságra vannak, egy A középpontú tA+tB sugarú körön lesznek. A két kör két metszése lehet csak B, azaz csak két ilyen különböző B pont létezik (adott r,O,a,tA,tB esetén), de az olyan két pont, ahol AB érintő triviálisan jó tehát azok azok.

A k körön kívüli A ill. B pontokból a körhöz húzott érintő szakaszok hossza t_A ill. t_B . Igazoljuk, hogy ha AB=t_A+t_B, akkor ( az ábrával ellentétben ) AB érintő.

Elegáns megközelítés. Más megoldás: 10-zel osztunk, majd AM-GM miatt triviális. Ha a változók szorzata 1, vagy összege 1, akkor AM-GM majdnem mindig beválik. Emiatt a feladatot rendezési tétellel is meg lehet oldani, illetve visszavezethető teljes négzetekre (itt talán az is kiszúrná a szemünket).