Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Háromszög szerkesztés

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[9] Sinobi2021-02-17 20:46:58

Na jó. Azon a részen, hogy egy Apollóniuszi körsornak egy adott méretű / egy adott egyenest érintő tagját keressük, lehet jó sokat egyszerűsíteni.

[8] Sinobi2021-02-17 20:30:55

Egy megoldás inverzióval: ugyanúgy kezdődik, mint a Kömalban szereplő II megoldás: az \(\displaystyle f_a\) szakasz \(\displaystyle A_0\) végpontjából érintőegyenest húzunk az \(\displaystyle f_a\) szakasz \(\displaystyle A\) csúcsa körüli \(\displaystyle m_a\) sugarú körhöz, a kapott \(\displaystyle t_e\) egyenesen lesz a B és a C csúcsa a háromszögnek.

Legyen \(\displaystyle A''\) az A csúcsbeli másik szögfelező metszése az előbbi \(\displaystyle t_e\) egyenessel. A keresett B és C pontok inverz pontpárok \(\displaystyle A_0\)-ra és \(\displaystyle A''\)-re, a távolságuk meg van adva, már csak meg kell szerkeszteni őket.

Ez pedig történhet inverzióval: a BC pontpárokra Thalész köröket képzelünk, olyat keresünk, amelyik érinti a \(\displaystyle t_e\) egyenessel párhuzamos, attól BC/2 távolságra levő egyeneseket, és merőleges \(\displaystyle A_0A''\) Thalész-körére. Ennek a körnek a két metszéspontja a \(\displaystyle t_a\) egyenessel lesz a keresett B és a C pont. Az egyik ilyen egyenest invertáljuk \(\displaystyle A_0 A''\) Thalész-körére, kapjuk \(\displaystyle q\) kört. Az inverzió a keresett BC talpppontú kört helybenhagyja, és érintkezést érintkezésbe visz, így már csak azt a kört kell megkeresni, amelyik érinti az előbbi két, \(\displaystyle t_a\)-val párhuzamos egyenest, és az egyiknek a q inverz képét; ami az Apollóniuszi probléma két egyenessel és egy darab körrel, a szerkesztés ismert.

[7] hihetetlen2021-02-14 20:14:05

Egyrészt csodálom, hogy ilyen gondosan tanulmányozod a régi feladatokat, másrészt remélem, hogy nem feltételezed rólam, hogy régi feladatok előbányászásával szeretnék hozzászólásokat provokálni, elmesélem a feladat történetét (én hogyan találkoztam vele):

A 90-es évek elején egyik fiam hozta haza a József Attila gimnáziumból. Úgy ítéltem, hogy nehezebb feladat, mint amit házi feladatnak szoktak adni, de felkeltette az érdeklődésemet, ezért aztán megpróbálkoztam a megoldásával. Több megoldást is kitaláltam, de mindegyik számolásos. Egy ilyet mindjárt le is írok. A megoldások nem túl elegánsak és nehezen szerkeszthetőek (terület átalakításokkal mindegyik szerkesztés elvégezhető volt), ezért időről-időre eszembe jutott, hogy kell lennie egyszerűbb megoldásnak is. Több matematikus ismerősömnek is elmeséltem, de nekik nem keltette fel az érdeklődésüket, vagy csak nem akartak elegendő időt fordítani a megoldásra. Egy éjszaka nyaralás közben jutott eszembe az a megoldás, amelyet már leírtam.

Most lássuk az egyik nem túl elegáns megoldást, amelyhez könnyen el lehet jutni (kiszámítjuk a háromszög köré írható kör sugarának hosszát)! A szerkesztést nem részletezem.

Legyen adva az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC=a\) oldala, \(\displaystyle AM=m\) a háromszög magassága és \(\displaystyle AF=f\) a háromszög szögfelezője!

Tükrözzük át a magasságot a szögfelezőre! Ez az egyenes át fog menni a körülírható kör \(\displaystyle O\) középpontján. A körülírható kör sugara legyen \(\displaystyle r\) hosszúságú! Az egyenesnek a háromszögbe eső darabja \(\displaystyle AD=l\). Bocsássunk merőlegest \(\displaystyle O\)-ból a \(\displaystyle BC\) oldalra, ennek talppontja \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle OE=x\)! Bocsássunk merőlegest \(\displaystyle O\)-ból az \(\displaystyle AM\) magasságra, ennek talppontja \(\displaystyle G\)!

Mivel \(\displaystyle AOG\triangle\thicksim ADM\triangle\) ezért

\(\displaystyle \frac{m-x}{r}=\frac{m}{l} \)

A Pythagoras-tétel szerint

\(\displaystyle x^2+\Big(\frac{a}{2}\Big)^2=r^2 \)

Az egyenletrendszerből \(\displaystyle r\) meghatározható (a negatív gyök nem érdekel):

\(\displaystyle r=\frac{-\frac{m^2}{l} + \sqrt{m^2 + \Big(\frac{a}{2}\Big)^2\Big(1-\frac{m^2}{l^2}\Big) }}{1-\frac{m^2}{l^2}} \)

Előzmény: [6] HoA, 2021-02-08 10:40:15
[6] HoA2021-02-08 10:40:15

A régi KöMaL számokat nézegetve rátaláltam feladatodnak a Te megszövegezésed szerinti kitűzésére is. Gy. 914.:

http://db.komal.hu/scan/1964/04/96404173.g4

A megoldás pedig itt:

http://db.komal.hu/scan/1965/04/96504153.g4

Előzmény: [5] hihetetlen, 2021-01-06 10:44:10
[5] hihetetlen2021-01-06 10:44:10

Tetszik a válaszod. Részben hasonló cipőben járok: 73 éves vagyok, így az 1965-ös számokat én is olvastam régen, de az élet úgy hozta, hogy inkább számítástechnikából élek, semmint matematikából. Szabadidőmben újra örömömet lelem matematikai feladatok megoldásában (ezeket részben magamnak találom ki, részben innen-onnan gyűjtöm).

Előzmény: [4] HoA, 2020-12-31 16:04:49
[4] HoA2020-12-31 16:04:49

RE: Áruld el, hogyan találtál rá erre a megoldásra?

A Ludas Matyi vicclapnak volt egy mottója: "Nincsenek régi viccek, csak öreg emberek. Egy újszülöttnek minden vicc új."

Ha az ember elég öreg ahhoz, hogy már az 1965-ös KöMaL-okat is olvasta, de még elég fiatal ahhoz, hogy ne felejtsen el mindet, egy-egy feladat kapcsán beugrik, hol látott valami hasonlót.

Előzmény: [3] hihetetlen, 2020-11-23 16:12:16
[3] hihetetlen2020-11-23 16:12:16

Áruld el, hogyan találtál rá erre a megoldásra?

Elmondom az én megoldásomat, amely ugyan számoláson alapul, de talán a szerkesztés egyszerűbb.

Induljunk ki a kész ábrából:

Legyen \(\displaystyle BC\) az adott oldal, \(\displaystyle AM\) az adott magasság és \(\displaystyle AF_1\) az adott szögfelező.

Megrajzoltuk még az \(\displaystyle AF_1\)-re merőleges \(\displaystyle AF_2\) külső szögfelezőt is.

Az \(\displaystyle AMF_1\triangle\) nyilván könnyen szerkeszthető és az \(\displaystyle F_2\) pont is könnyen kitűzhető.

Ha ismernénk a \(\displaystyle BF_1\) szakasz \(\displaystyle x\) hosszát, akkor készen lennénk.

Legyen a \(\displaystyle BC\) oldal hossza \(\displaystyle a\), az \(\displaystyle F_2F_1\) távolság pedig \(\displaystyle d\)!

Írjuk fel a szögfelező tétel alapján a következő összefüggést:

\(\displaystyle \frac{x}{a-x}= \frac{d-x}{d+a-x} \)

A kapott másodfokú egyenlet megoldása (csak az érdekel, amelyik kisebb \(\displaystyle a\)-nál):

\(\displaystyle x= \frac{a+d-\sqrt{a^2 + d^2}}{2} \)

\(\displaystyle \sqrt{a^2 + d^2}\) egy olyan derékszögű háromszög átfogójának a hossza, amelynek befogói \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle d\) hosszúságúak.

Nézzük ezek után a szerkesztést! Szerkesszük meg az \(\displaystyle AMF_1\) háromszöget és tűzzük ki az \(\displaystyle F_2\) pontot! Az \(\displaystyle F_1F_2\) egyenesre mérjük fel az \(\displaystyle a\) szakaszt \(\displaystyle F_1\)-ből az \(\displaystyle F_2\)-vel ellentétes oldalon. A kitűzött pont \(\displaystyle P_1\) és az \(\displaystyle F_2P_1\) szakasz hossza \(\displaystyle a+d\).

Állítsunk merőlegest az \(\displaystyle F_1F_2\) egyenesre az \(\displaystyle F_1\) pontban és mérjük fel rá az \(\displaystyle a\) szakaszt! A kitűzött pont \(\displaystyle P_2\). Az \(\displaystyle F_2P_2\) távolság nyilván \(\displaystyle \sqrt{a^2 + d^2}\).

Mérjük rá az \(\displaystyle F_2P_2\) távolságot az \(\displaystyle F_2P_1\) szakaszra \(\displaystyle F_2\)-ből indulva. Az így kapott pont \(\displaystyle P_3\). Nyilván a \(\displaystyle P_1P_3\) szakasz hossza \(\displaystyle a+d-\sqrt{a^2 + d^2}\). A szakasz felezőpontja legyen \(\displaystyle K\)!

A \(\displaystyle KP_1\) szakasz hossza \(\displaystyle x\), tehát \(\displaystyle K=C\), azaz megkaptuk a háromszög másik csúcsát. A harmadik csúcs kitűzése most már nem jelent problémát és a szerkesztést befejezettnek tekinthetjük.

Röviden a diszkusszió: ha az adott magasság és az adott szögfelező egyenlő hosszú, akkor egyenlőszárú háromszögről van szó, amelynek szerkesztése nem okozhat problémát, ha pedig a szögfelező hosszabb a magasságnál, akkor a szerkesztés mindig elvégezhető.

Előzmény: [2] HoA, 2020-10-16 22:43:59
[2] HoA2020-10-16 22:43:59

Az \(\displaystyle f_c\) és \(\displaystyle m_c\) által bezárt szög \(\displaystyle \frac{\alpha - \beta}2\) Így a feladatot visszavezettük erre:

Szerkesszünk háromszöget ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó magasság és az oldalon fekvő két szög különbsége.

Ez volt az 1964. évi Arany Dániel verseny egyik feladata, megoldása a KöMaL 1965. évi 1. számának 2. oldalán olvasható.

Előzmény: [1] hihetetlen, 2020-09-24 15:56:03
[1] hihetetlen2020-09-24 15:56:03

Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, az oldalhoz tartozó magasság és a szemközti csúcsból induló szögfelezőnek a háromszögbe eső darabja!