 Ha két hétig nem akadt rá vállalkozó… A szükséges és elégséges feltétel: a háromszög legyen derékszögű. Bizonyítás: Legyen P egy megfelelő pont, távolsága a háromszög A,B,C csúcsaitól x,y és z. A C csúcson átmenő ellipszis nagytengelye AC + CB = b + a . Mivel P rajta van ezen az ellipszisen, x + y = b + a . Hasonlóan adódik, hogy y + z = b + c és z + x = c + a . Az egyenletrendszerből x = a , y = b és z = c. Az első kettőből P csak olyan pont lehet, ami A-tól a , B-től b távolságra van. Különböztessünk meg 3 esetet.
1) P az AB egyenesnek ugyanazon az oldalán van, mint C és a >= b
2) P az AB egyenesnek ugyanazon az oldalán van, mint C és a <= b
3) P az AB egyenesnek a C-vel ellentétes oldalán van.
Az 1) esetben ABC és ABP háromszögek egybevágóak, ABPC egyenlőszárú trapéz. Ha most figyelembe vesszük a harmadik egyenlőséget is: z = c , vagyis PC = c , akkor ABPC alapjai egyenlők, ABPC téglalap, az ABC háromszög A-nál derékszögű.
A 2) esetben hasonlóan adódik, hogy ABCP téglalap, az ABC háromszög B-nél derékszögű.
Végül a 3) esetben az egybevágó ABC és BAP háromszögek miatt APBC paralelogramma. A harmadik egyenlőséget figyelembe véve PC = z = c = AB . APBC átlói egyenlőek, APBC téglalap, ABC háromszög C-nél derékszögű. A feltétel tehát szükséges.
A feltétel elégséges is. Ha a háromszög derékszögű, legyen P a körülírt körnek a derékszögű csúccsal átellenes pontja. Könnyen látható, hogy erre teljesülnek a csúcsoktól mért távolságokra előírt követelmények, P mindhárom ellipszisen rajta van.
|
