 A feladat állítását átfogalmazva: Ha két parabolának van közös pontja, akkor ebben a pontban érintik egymást és a harmadik nem megy át ezen a ponton. Ezt bizonyítjuk.
Legyenek az ABC háromszöghöz rendelt A, B, C fókuszú parabolák \(\displaystyle P_A , P_B , P_C \) és tegyük fel, hogy \(\displaystyle P_A\) -nak és \(\displaystyle P_B\) -nek van egy közös R pontja. Legyen az R -ből a BC egyenesre bocsátott merőleges talppontja \(\displaystyle A_0\) , az AC egyenesre bocsátott merőleges talppontja \(\displaystyle B_0\) . Az \(\displaystyle RAB_0\) és \(\displaystyle RBA_0\) derékszögű háromszögekből \(\displaystyle RA \ge RB_0\) és \(\displaystyle RB \ge RA_0\). A parabola definíciójából \(\displaystyle RA = RA_0\) és \(\displaystyle RB = RB_0\) . Ezekből
\(\displaystyle RB \ge RA_0 = RA \ge RB_0 = RB\)
ami csak úgy teljesülhet, ha a négy szakasz egyenlő hosszú. \(\displaystyle RA_0 = RB_0\) -ból R az ACB szög felezőjén van. \(\displaystyle RA = RB\) -ből az RCA és RCB derékszögű háromszögek egybevágóak, CA = CB, az ABC háromszög egyenlőszárú, R az AC szárra A -ban és a BC szárra B -ben emelt merőlegesek metszéspontja. R tehát egyértelműen meghatározott, \(\displaystyle P_A\) -nak és \(\displaystyle P_B\) -nek nincs több közös pontja. Az egyenlőszárú háromszög alapon fekvő szögei 90 foknál kisebbek, a fenti merőlegesek az RC egyenest az AB egyenes C-t nem tartalmazó oldalán metszik. \(\displaystyle P_C\) teljes egészében az AB egyenes C-t tartalmazó oldalán halad, így nem mehet át R -en, a három parabolának nincs közös pontja. Az RC egyenes mindkét parabola esetében felezi az R pontból a fókuszba húzott szakasz és az R-ből a vezéregyenesre bocsátott merőleges által bezárt szöget. RC mindkét parabolának R-beli érintője. A két parabola R-ben érinti egymást. A feladat kérdésére tehát a válasz: Az érintkezés feltétele, hogy a háromszög egyenlőszárú. ( Egyenlő oldalú háromszög esetében a három parabola páronként érinti egymást .)
|
